Решение
Обозначим внешнюю окружность через , внутреннюю , описанную окружность треугольника BKM – 1 , их радиусы – R , r и r1 соответственно. Пусть отрезок BN пересекает окружность в точке P . При гомотетии с центром в точке N и коэффициентом
окружность
переходит в окружность . Точка P при этом переходит в
точку B , а касательная AB к окружности , проведённая в точке K , –
в касательную l к окружности , параллелельную AB . Поскольку касательная
l параллельна хорде AB , то точка касания – середина дуги AB ,
не содержащей точку N , т.е. точка M . Значит, точки N , K и M лежат на
одной прямой.
Пусть 
BMN = a . Из теоремы синусов следует, что
= 
= 
.
Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок NP переходит в отрезок NB , то
= 
. По теореме о касательной и секущей
BK2 = BP· BN . Значит,
)2 = (
)2=
=
=
= 
= 1-
= 1-
.
Отсюда следует, что отношение
не зависит от выбора точки K , а значит,
и r1 не зависит от выбора точки K .
