Скрыть решение
Решение
Обозначим внешнюю окружность через
, внутреннюю
,
описанную окружность треугольника
BKM –
1
, их
радиусы –
R ,
r и
r1
соответственно. Пусть отрезок
BN
пересекает окружность
в точке
P .
При гомотетии с центром в точке
N и коэффициентом
окружность
переходит в окружность
. Точка
P при этом переходит в
точку
B , а касательная
AB к окружности
, проведённая в точке
K , –
в касательную
l к окружности
, параллелельную
AB . Поскольку касательная
l параллельна хорде
AB , то точка касания – середина дуги
AB ,
не содержащей точку
N , т.е. точка
M . Значит, точки
N ,
K и
M лежат на
одной прямой.
Пусть
BMN = a . Из теоремы синусов следует, что
=
=
.
Поскольку при рассматриваемой гомотетии отрезок
NP переходит в отрезок
NB ,
то
=
. По теореме о касательной и секущей
BK2
= BP· BN . Значит,
(
)2 = (
)2=
=
=
=
= 1-
= 1-
.
Отсюда следует, что отношение
не зависит от выбора точки
K , а значит,
и
r1
не зависит от выбора точки
K .