---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что AO₁O₂ = ABC и AO₂O₁ = ACB.

Решение

Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, то точки O , O1 и O2 лежат на одной прямой. Пусть углы при вершинах O и A треугольника OAB равны соответственно a и b . По теореме о внешнем угле треугольника
AO1O2= AOO1+ OAO1= + = (a+b)= AOB+ OAB= ABC.
Пусть угол при вершине A треугольника OAC равен b" , а окружность с центром O2 касается луча OA в точке D . Тогда
AO2O1 = DAO2- AOO2= (180^o-b")- =(180^o-b"-a) = ACO= ACB.
Из условия задачи следует, что AO1O2= AO2O1 , значит, ABC = ACB . Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.