Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что
AO1O2 = 
ABC и
AO2O1 = 
ACB.
Решение
Поскольку центр окружности, вписанной в угол, лежит на
биссектрисе этого угла, то точки
O ,
O1
и
O2
лежат на
одной прямой. Пусть углы при вершинах
O и
A треугольника
OAB равны соответственно
a и
b . По теореме
о внешнем угле треугольника
AO1O2=
AOO1+
OAO1=
+
=
(a+b)=

AOB+
OAB=
ABC.
Пусть угол при вершине
A треугольника
OAC равен
b" , а
окружность с центром
O2
касается луча
OA в точке
D . Тогда
AO2O1 =
DAO2-
AOO2=
(180o-b")-
=
(180o-b"-a) = 
ACO=

ACB.
Из условия задачи следует, что
AO1
O2
=
AO2
O1
,
значит,
ABC =
ACB . Следовательно, треугольник
ABC – равнобедренный.