ABC = 60o .
Решение
Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC . Обозначим точки касания этой окружности со сторонами AB , BC и AC через A1 , B1 и C1 соответственно. Тогда точки A1 , B1 и C1 – середины отрезков соответственно AA" , BB" и CC" . По теореме о средней линии треугольника A1B1 || A"B" , B1C1 || B"C" и A1C1 || A"C" . Значит, углы треугольника A1B1C1 соответственно равны углам треугольника A"B"C" . Обозначим
ABC = b .
Поскольку B1C1 
AI и B1A1 
CI , а AI и CI –
биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC , то
A"B"C" = 
A1B1C1 = 180o-
AIC =
180o - (90o+
) =
90o - 
,
а т.к. A"B"C" и A"BC" – противоположные углы вписанного четырёхугольника A"B"C"B , то
A"BC" = 180o - 
A"B"C" =
180o-(90o - 
)=
90o + 
.
С другой стороны, поскольку точки A" и C" симметричны точке I относительно прямых соответственно BC и AB , то
A"BC" = 
C"BI+
A"BI = 2
ABI + 2
CBI=
2(
ABI + 
CBI) = 2
ABC = 2b.
Из уравнения 90o +
= 2b находим, что b = 60o .
