Скрыть решение
Решение
Точка
I – центр вписанной окружности треугольника
ABC . Обозначим
точки касания этой окружности со сторонами
AB ,
BC и
AC через
A1
,
B1
и
C1
соответственно. Тогда точки
A1
,
B1
и
C1
– середины отрезков соответственно
AA" ,
BB" и
CC" .
По теореме о средней линии треугольника
A1
B1
|| A"B" ,
B1
C1
|| B"C" и
A1
C1
|| A"C" . Значит,
углы треугольника
A1
B1
C1
соответственно равны углам треугольника
A"B"C" .
Обозначим
ABC = b .
Поскольку
B1
C1
AI и
B1
A1
CI , а
AI и
CI –
биссектрисы углов
BAC и
BCA треугольника
ABC , то
A"B"C" =
A1B1C1 = 180o-
AIC =
180o - (90o+
) =
90o -
,
а т.к.
A"B"C" и
A"BC" – противоположные углы вписанного четырёхугольника
A"B"C"B ,
то
A"BC" = 180o -
A"B"C" =
180o-(90o -
)=
90o +
.
С другой стороны, поскольку точки
A" и
C" симметричны точке
I относительно
прямых соответственно
BC и
AB , то
A"BC" =
C"BI+
A"BI = 2
ABI + 2
CBI=
2(
ABI +
CBI) = 2
ABC = 2b.
Из уравнения
90
o +
= 2
b находим, что
b = 60
o .