Скрыть решение
Решение
Известно, что в любом треугольнике расстояние от вершины до точки
пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной
окружности до противоположной стороны. Поэтому, если
A1
–
середина стороны
BC , то
AH=2
OA1
.
Поскольку
OA1
KI – прямоугольник, то
OA1
=IK . Поэтому
AH = 2
OA1
= 2
IK , т.е. отрезок
AH равен диаметру вписанной
в треугольник
ABC окружности. Пусть
M – точка этой окружности,
диаметрально противоположная точке
K . Поскольку
AH || KM и
AH =AM , то
AHKM – параллелограмм, значит,
AM || HK .
Рассмотрим гомотетию с центром в точке
A , переводящую вписанную
окружность треугольника
ABC во вневписанную окружность этого
треугольника, касающуюся стороны
BC . При этой гомотетии касательная
к вписанной окружности, проведённая через точку
M , переходит в прямую
BC , значит, точка
M переходит в точку касания
X вневписанной
окружности со стороной
BC .
Докажем, что
BK=CX . Пусть
P и
Q – точки касания рассматриваемой
вневписанной окружности с продолжениями сторон
AC и
BC соответственно,
p – полупериметр треугольника
ABC . Тогда
CX = CP, BX = BQ,
2p = AC + (CX + BX) + AB = (AC + CP) + (BQ + AB) = AP+AQ,
а т.к.
AP = AQ , то
AP=AQ = p . Тогда
CX = CP = AP - AC = p-AC = BK.
Из доказанного следует, что середина
A1
стороны
BC будет также серединой отрезка
KX .
Пусть прямые
OA1
и
AX пересекаются в точке
O" . Тогда
A1
O"
– средняя линия треугольника
KMX , поэтому
O"A1 =
KM=
AH = OA1.
Значит, точка
O" совпадает с точкой
O . Таким образом, точка
O лежит
на прямой
AM , а т.к.
AM || HK , то
AO || HK , что и
требовалось доказать.