Решение
Известно, что в любом треугольнике расстояние от вершины до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. Поэтому, если A1 – середина стороны BC , то AH=2OA1 . Поскольку OA1KI – прямоугольник, то OA1=IK . Поэтому AH = 2OA1 = 2IK , т.е. отрезок AH равен диаметру вписанной в треугольник ABC окружности. Пусть M – точка этой окружности, диаметрально противоположная точке K . Поскольку AH || KM и AH =AM , то AHKM – параллелограмм, значит, AM || HK . Рассмотрим гомотетию с центром в точке A , переводящую вписанную окружность треугольника ABC во вневписанную окружность этого треугольника, касающуюся стороны BC . При этой гомотетии касательная к вписанной окружности, проведённая через точку M , переходит в прямую BC , значит, точка M переходит в точку касания X вневписанной окружности со стороной BC . Докажем, что BK=CX . Пусть P и Q – точки касания рассматриваемой вневписанной окружности с продолжениями сторон AC и BC соответственно, p – полупериметр треугольника ABC . Тогдаа т.к. AP = AQ , то AP=AQ = p . Тогда
Из доказанного следует, что середина A1 стороны BC будет также серединой отрезка KX . Пусть прямые OA1 и AX пересекаются в точке O" . Тогда A1O" – средняя линия треугольника KMX , поэтому
KM= 
AH = OA1.
Значит, точка O" совпадает с точкой O . Таким образом, точка O лежит на прямой AM , а т.к. AM || HK , то AO || HK , что и требовалось доказать.
