Подсказка
Центр окружности равноудалён от вершины прямого угла треугольника и от концов указанной в условии проекции.
Решение
Пусть O – центр окружности радиуса r , вписанной в прямоугольный треугольник ABC ; P , Q и T – точки касания этой окружности соответственно с катетами AC , BC и гипотенузой AB ; MN проекция окружности на гипотенузу (рис.1). Поскольку CPOQ – квадрат со стороной r , то OC=r
. Аналогично
находим, что OM=ON=r
. Значит, точки C , M и N лежат на
окружности с центром O и радиусом r
.
Поскольку MON – центральный угол этой окружности, а MCN – вписанный, то
MCN = 
MON = 
· 90o = 45o.
Пусть O – центр окружности радиуса r , вписанной в прямоугольный треугольник ABC ; P , Q и T – точки касания этой окружности соответственно с катетами AC , BC и гипотенузой AB ; MN проекция окружности на гипотенузу. Через точки M и N проведём касательные к окружности, не совпадающие с прямой AB (рис.2). Пусть X и Y – точки их касания с окружностью, а F и G – точки их пересечения с катетами AC и BC соответственно. Тогда
Значит, треугольник CFM – равнобедренный. Аналогично, CG=NG , т.е.треугольник CNG – также равнобедренный. Проведём высоту CH треугольника ABC . Тогда MF || CH и NG || CH , поэтому
HCM = 
CMF = 
MCF, 
HCN = 
CNG = 
NCG.
Следовательно,
MCN = 
HCM+ 
HCN = 
ACB =
· 90o= 45o.
