Скрыть решение
Подсказка
Центр окружности равноудалён от вершины прямого угла треугольника и от концов
указанной в условии проекции.
Решение

Пусть
O – центр окружности радиуса
r , вписанной в прямоугольный треугольник
ABC ;
P ,
Q и
T – точки касания этой окружности соответственно
с катетами
AC ,
BC и гипотенузой
AB ;
MN проекция окружности на
гипотенузу (рис.1).
Поскольку
CPOQ – квадрат со стороной
r , то
OC=r
. Аналогично
находим, что
OM=ON=r
. Значит, точки
C ,
M и
N лежат на
окружности с центром
O и радиусом
r
.
Поскольку
MON – центральный угол этой окружности, а
MCN – вписанный, то
MCN = 
MON =
· 90o = 45o.

Пусть
O – центр окружности радиуса
r , вписанной в прямоугольный треугольник
ABC ;
P ,
Q и
T – точки касания этой окружности соответственно
с катетами
AC ,
BC и гипотенузой
AB ;
MN проекция окружности на
гипотенузу.
Через точки
M и
N проведём касательные к окружности, не совпадающие с прямой
AB (рис.2).
Пусть
X и
Y – точки их касания с окружностью, а
F и
G – точки их пересечения
с катетами
AC и
BC соответственно. Тогда
CF = CP+ PF = r+PF = r+FX = MX + FX = MF.
Значит, треугольник
CFM – равнобедренный. Аналогично,
CG=NG , т.е.треугольник
CNG –
также равнобедренный.
Проведём высоту
CH треугольника
ABC . Тогда
MF || CH и
NG || CH ,
поэтому
HCM =
CMF =
MCF,
HCN =
CNG =
NCG.
Следовательно,
MCN =
HCM+
HCN = 
ACB =
· 90o= 45o.
Ответ
45
o .