Подсказка
Докажите, что центр окружности лежит внутри треугольника ABD и воспользуйтесь методом площадей.
Решение
Заметим, что AC=AB+AD >AB , поэтому
BAD > 
CAD . Значит,
биссектриса AO угла BAC проходит между сторонами угла BAD . Следовательно,
точка O лежит внутри треугольника ABD .
Выразим площади треугольников через радиус r вписанной окружности треугольника
ABC и расстояние d от точки O до медианы AD :
Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то 2SD ABD= SD ABC . Поэтому
(r· AB+r· BC+r· AC).
Поскольку AC= AB+AD и BC=2BD , то из последнего равенства получим, что
r(AB+BC+AC)-r(AB+BD)=
r(AB+BC+AC-2AB-2BD) = 
r(BC+AC-AB -2BD)=
r(AC-AB) = 
r· AD.
Поэтому d=
r , т.е. высота равнобедренного треугольника XOY ,
опущенная на его основание XY , равна половине боковой стороны OX=OY = r .
Следовательно, 
XOY = 120o .
