Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что центр окружности лежит внутри треугольника ABD и воспользуйтесь
методом площадей.
Решение
Заметим, что
AC=AB+AD >AB , поэтому
BAD >
CAD . Значит,
биссектриса
AO угла
BAC проходит между сторонами угла
BAD . Следовательно,
точка
O лежит внутри треугольника
ABD .
Выразим площади треугольников через радиус
r вписанной окружности треугольника
ABC и расстояние
d от точки
O до медианы
AD :
SD ABD = SD OAB+SD OBD+SD AOD,
SD ABC = SD OAB+SD OBC+SD AOC,
Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то
2
SD ABD=
SD ABC . Поэтому
2(SD OAB+SD OBD+SD AOD) =
SD OAB+SD OBC+SD AOC,
r· AB+r· BD+d· AD =
(r· AB+r· BC+r· AC).
Поскольку
AC= AB+AD и
BC=2
BD , то из последнего равенства
получим, что
d· AD=
r(AB+BC+AC)-r(AB+BD)=
=
r(AB+BC+AC-2AB-2BD) =
r(BC+AC-AB -2BD)=
=
r(AC-AB) =
r· AD.
Поэтому
d=
r , т.е. высота равнобедренного треугольника
XOY ,
опущенная на его основание
XY , равна половине боковой стороны
OX=OY = r .
Следовательно,
XOY = 120
o .
Ответ
120
o .