Скрыть решение
Подсказка
Рассмотрите симметрию относительно прямой MK. Далее примените метод
вспомогательной окружности.
Решение
Прямая
KM проходит через середины дуги
AB и середину хорды
AB , поэтому
прямая
MK содержит диаметр окружности. Значит, окружность симметрична
относительно этой прямой.
Предположим, что точка
P отлична от середины большей дуги
AB (иначе
KL=MN ).
Пусть
P" – точка, симметричная точке
P относительно прямой
MK . Тогда
P" лежит на окружности,
PP" || AB , а точка
N" пересечения отрезков
AB
и
MP" симметрична точке
N относительно
MK . Поэтому
MN=MN" .
Из теоремы о вписанных углах следует, что
KN"M=
PP"M =
PLM.
Значит, из точек
N" и
L отрезок
MK виден под одним и тем же углом,
причём эти точки лежат по одну сторону от
MK . Поэтому, точки
K ,
M ,
L и
N" лежат на одной окружности, а т.к.
MK
AB , то
MN" – диаметр этой окружности. Следовательно,
MN = MN"> KL
(диаметр есть наибольшая хорда окружности).
Ответ
KL
MN .