Подсказка
Рассмотрите симметрию относительно прямой MK. Далее примените метод вспомогательной окружности.
Решение
Прямая KM проходит через середины дуги AB и середину хорды AB , поэтому прямая MK содержит диаметр окружности. Значит, окружность симметрична относительно этой прямой. Предположим, что точка P отлична от середины большей дуги AB (иначе KL=MN ). Пусть P" – точка, симметричная точке P относительно прямой MK . Тогда P" лежит на окружности, PP" || AB , а точка N" пересечения отрезков AB и MP" симметрична точке N относительно MK . Поэтому MN=MN" . Из теоремы о вписанных углах следует, что
KN"M=
PP"M = 
PLM.
Значит, из точек N" и L отрезок MK виден под одним и тем же углом, причём эти точки лежат по одну сторону от MK . Поэтому, точки K , M , L и N" лежат на одной окружности, а т.к. MK
AB , то
MN" – диаметр этой окружности. Следовательно,
(диаметр есть наибольшая хорда окружности).
Ответ
KL
MN .