Скрыть решение
Подсказка
Примените гомотетию.
Решение
Пусть
K ,
L ,
P и
N – середины сторон соответственно
AB ,
BC ,
CD и
AD . Тогда
KLMN – квадрат. Поскольку точка
пересечения медиан делит каждую медиану треугольника в отношении 1:2, считая от вершины, то
при гомотетии с центром
M и коэффициентом
четырёхугольник
KLMN переходит в четырёхугольник с вершинами в точках пересечения
медиан треугольников
ABM ,
BCM ,
CDM и
DAM . Значит, последний четырёхугольник также
является квадратом.