Задача No. 102712

Даны точки A(- 2;0), B(1;6), C(5;4) и D(2; - 2). Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник.

Подсказка

Докажите, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AB}$ ^. $\overrightarrow{AD}$ = 0.

Решение

Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, если AB $\Vert$ DC, AB = DC и AB $\perp$ AD. Для этого достаточно доказать, что $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AB}$ ^. $\overrightarrow{AD}$ .

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);6-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(5-2);4-(-2)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$ ,

$\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(2-(-2);-2-0)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(4;-2)}$ ,

то $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$ и

$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ = 3^.4 + 6^.(- 2) = 0.

Что и требовалось доказать.

Условие

Подсказка

Решение