Задача No. 102431

В треугольнике ABC проведена средняя линия MN, соединяющая стороны AB и BC. Окружность, проведенная через точки M, N и C, касается стороны AB, а ее радиус равен $\sqrt{2}$ . Длина стороны AC равна 2. Найдите синус угла ACB.

Скрыть решение

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей, а также теорему синусов к треугольнику BMN.

Решение

Обозначим BN = NC = x, $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ACB = $\beta$ .

По теореме о касательной и секущей

BM = $\displaystyle \sqrt{BN\cdot BC}$ = $\displaystyle \sqrt{x\cdot 2x}$ = x $\displaystyle \sqrt{2}$ .

По теореме о средней линии треугольника MN = ${\frac{1}{2}}$ AC = ${\frac{1}{2}}$ ^.2 = 1 и MN $\Vert$ AC. Поэтому $\angle$ BMN = $\angle$ BAC = $\alpha$ и $\angle$ BNM = $\angle$ ACB = $\beta$ .

По теореме об угле между касательной и хордой $\angle$ NCM = $\angle$ BMN = $\alpha$ . Если R радиус данной окружности, то MN = 2R^.sin $\angle$ MCN, или 1 = 2 $\sqrt{2}$ sin $\alpha$ , откуда находим, что sin $\alpha$ = ${\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{BM}{\sin \angle BNM}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{\sin \angle BMN}}$ , или $\displaystyle {\frac{x\sqrt{2}}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Ответ

${\frac{1}{2}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ