Подсказка
Треугольники ABL и DCL — равнобедренные,
MK
BC
AD, точки M, L, K и N
лежат на одной окружности.
Решение
Поскольку AL — биссектриса угла BAD, а прямые AD и BC параллельны, то
BAL = 
DAL = 
BLA, поэтому треугольник ABL — равнобедренный.
Значит, BL = AB = 8 и биссектриса BM этого треугольника является его медианой и
высотой, т.е. AM = ML и
BM 
AL.
Аналогично докажем, что CL = СD = 5, LK = KD и
CK 
DL.
Таким образом, MK — средняя линия треугольника ALD, поэтому прямая MK параллельна основаниям трапеции, а точка E пересечения прямых MK и AB — середина стороны AB. Следовательно, AE : BE = 1 : 1.
Пусть прямая LN пересекает прямые AD и MK в точках P и Q соответственно.
Поскольку
MK
AD и
MK
BC, то
AP : PD = MQ : QK = BL : LC = 8 : 5.
Отрезок LN виден из точек M и K под прямым углом, значит точки M и K лежат на
окружности с диаметром LN. Поэтому
LMQ = 
LMK = 
LNK = 
QNK и
треугольники LMQ и KNQ подобны по двум углам. Тогда
LQ : QK = LM : KN, откуда находим,
что
LQ = QK . 
= 
. QK.
Из подобия треугольников KQL и NQM следует, что
= 
= 
= 
. 
= 
. 
= 
.
Ответ
а) 1 : 1; 5 : 8; б) 5 : 14.