Задача No. 102422

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = BC, DB — биссектриса угла D, $\angle$ ABC = 100^o, $\angle$ BEA = 70^o. Найдите угол CAD.

Скрыть решение

Подсказка

Пусть F — точка, симметричная вершине A относительно прямой BD. Тогда точки C, F, B и E лежат на одной окружности.

Решение

Треугольник ABC — равнобедренный, поэтому $\angle$ CAB = $\angle$ ACB = 40^o. Тогда

$\displaystyle \angle$ ABE = 180^o - 70^o - 40^o = 70^o, $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ CBA - $\displaystyle \angle$ ABE = 100^o - 70^o = 30^o.

Пусть F — точка, симметричная вершине A относительно прямой BD. Поскольку DB — биссектриса угла ADC, то точка F лежит на луче DC, $\angle$ BFE = $\angle$ BAE = 40^o = $\angle$ BCE. Таким образом, отрезок BE виден из точек C и F под одним углом, причём точки C и F лежат по одну сторону от прямой BE. Значит, точки C, F, B и E лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ CFE = $\displaystyle \angle$ CBE = 30^o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ DFE = $\displaystyle \angle$ CFE = 30^o.

Ответ

30^o.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ