Задача No. 102421

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = AD, CA — биссектриса угла C, $\angle$ BAD = 140^o, $\angle$ BEA = 110^o. Найдите угол CDB.

Скрыть решение

Подсказка

Продолжите стороны BC и AD до пересечения в точке F и докажите, что треугольник CDF — равнобедренный.

Решение

Углы при основании BD равнобедренного треугольника BAD и равны по 20^o. Значит, по теореме о внешнем угле треугольника $\angle$ CAD = $\angle$ AEB - $\angle$ ADE = 110^o - 20^o = 90^o.

Продолжим стороны BC и AD до пересечения в точке F. Поскольку биссектриса CA треугольника CDF является его высотой, то треугольник CDF — равнобедренный. Поэтому FA = AD = AB.

Поскольку медиана AB треугольника BFD равна половине стороны DF, то треугольник BFD — прямоугольный, $\angle$ DBF = 90^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ CDF = $\displaystyle \angle$ BFD = 90^o - $\displaystyle \angle$ BDF = 90^o - 20^o = 70^o.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ CDB = $\displaystyle \angle$ CDF - $\displaystyle \angle$ BDA = 70^o - 20^o = 50^o.

Ответ

50^o.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ