Скрыть решение
Подсказка
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку
A, пересекает
отрезок
BD в точке
M, а
N — точка на продолжении отрезка
MA за точку
A.
Докажите, что треугольники
EAC и
BEC подобны, а луч
AB — биссектриса угла
DAK. Затем
воспользуйтесь теоремой: "Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки,
пропорциональные двум другим сторонам".
Решение
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку
A, пересекает
отрезок
BD в точке
M. Тогда
MA =
MB. Обозначим
MAB =
MBA =

.
Если
N — точка на продолжении отрезка
MA за точку
A, то
AEC =
CAN =
MAB =

(по теореме об угле между касательной и
хордой). Следовательно, треугольники
EAC и
BEC подобны по двум углам
(
ACE — общий угол этих треугольников). Значит,

=

,
откуда
CE2 =
AC . BC = 4
. 9 = 36, а
CE = 6.
Обозначим
BAD =

. Поскольку четырёхугольник
ADEC вписан в окружность, то
BEC = 180
o -
DAC =
BAD =

. В то же время, из подобия
треугольников
EAC и
BEC следует, что
CAE =
BEC, поэтому
BAK =
CAE =
BEC =
BAD =

(
K — точка на продолжении отрезка
EA
за точку
A), т.е. луч
AB — биссектриса угла
DAK. Следовательно, центр
O окружности,
упомянутой во второй части условия, лежит на отрезке
AB (это вневписанная окружность
треугольника
AED, касающаяся стороны
AD.
Поскольку
DO — биссектриса угла
ADB, то

=

. С другой
стороны, из подобия треугольников
BAD и
BEC следует, что

=

=

=

. Значит,

=

, поэтому

=

. Следовательно,
AO
BD =
. 5 = 2.
Ответ
CE = 6,
OA = 2.