Подсказка
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку A, пересекает отрезок BD в точке M, а N — точка на продолжении отрезка MA за точку A. Докажите, что треугольники EAC и BEC подобны, а луч AB — биссектриса угла DAK. Затем воспользуйтесь теоремой: "Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам".Решение
Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку A, пересекает отрезок BD в точке M. Тогда MA = MB. Обозначим
MAB = 
MBA = 
.
Если N — точка на продолжении отрезка MA за точку A, то
AEC = 
CAN = 
MAB = 
(по теореме об угле между касательной и
хордой). Следовательно, треугольники EAC и BEC подобны по двум углам
(
ACE — общий угол этих треугольников). Значит,
= 
,
откуда
CE2 = AC . BC = 4 . 9 = 36, а CE = 6.
Обозначим
BAD = 
. Поскольку четырёхугольник ADEC вписан в окружность, то
BEC = 180o - 
DAC = 
BAD = 
. В то же время, из подобия
треугольников EAC и BEC следует, что
CAE = 
BEC, поэтому
BAK = 
CAE = 
BEC = 
BAD = 
(K — точка на продолжении отрезка EA
за точку A), т.е. луч AB — биссектриса угла DAK. Следовательно, центр O окружности,
упомянутой во второй части условия, лежит на отрезке AB (это вневписанная окружность
треугольника AED, касающаяся стороны AD.
Поскольку DO — биссектриса угла ADB, то
= 
. С другой
стороны, из подобия треугольников BAD и BEC следует, что
= 
= 
= 
. Значит,
= 
, поэтому
= 
. Следовательно,
AO
BD = 
. 5 = 2.
