Задача No. 102333

Подсказка

Докажите, что BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, проведённая из вершины прямого угла B.

Решение

Пусть K — точка касания общей внешней касательной с окружностью радиуса 3. Поскольку BO₁ и BO₂ — биссектрисы углов ABK и ABL, то $\angle$ O₁BO₂, значит, BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

BA = $\displaystyle \sqrt{AO_{1}\cdot AO_{2}}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Тогда BL = BA = 3 $\sqrt{2}$ как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Поскольку BL + AO₂ = BA + LO₂, то в четырёхугольник ABLO₂ можно вписать окружность. Центр O этой окружности лежит диагонали BO₂, т.к. BO₂ — биссектриса углов при вершинах B и O₂ этого четырёхугольника. Пусть P и Q — точки касания искомой окружности с отрезками BA и AO₂ соответственно, а r — искомый радиус. Тогда

S_ABO₂ = S_AOO₂ + S_AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AO₂^.OQ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.OP =

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.6^.r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ^.r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.r(6 + 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

С другой стороны,

S_ABO₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AO₂^.AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.6^.3 $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.18 $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Из уравнения ${\frac{1}{2}}$ ^.r(6 + 3 $\sqrt{2}$ ) = ${\frac{1}{2}}$ ^.18 $\sqrt{2}$ находим, что

r = $\displaystyle {\frac{6}{1+\sqrt{2}}}$ = 6( $\displaystyle \sqrt{2}$ - 1).

Ответ

6( $\sqrt{2}$ - 1).

Условие

Подсказка

Решение

Ответ