Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что
BA — высота прямоугольного треугольника
O1BO2, проведённая
из вершины прямого угла
B.
Решение
Пусть
K — точка касания общей внешней касательной с окружностью радиуса 3.
Поскольку
BO1 и
BO2 — биссектрисы углов
ABK и
ABL, то
O1BO2,
значит,
BA —
высота прямоугольного треугольника
O1BO2, проведённая из вершины прямого
угла, поэтому
BA =

= 3

.
Тогда
BL =
BA = 3

как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной
точки. Поскольку
BL +
AO2 =
BA +
LO2, то в четырёхугольник
ABLO2 можно вписать
окружность. Центр
O этой окружности лежит диагонали
BO2, т.к.
BO2 —
биссектриса углов при вершинах
B и
O2 этого четырёхугольника.
Пусть
P и
Q — точки касания искомой окружности с отрезками
BA и
AO2
соответственно, а
r — искомый радиус. Тогда
S
ABO2 =
S
AOO2 +
S
AOB =
. AO2 . OQ +
. AB . OP =
. 6
. r +
. 3
. r =
. r(6 + 3

).
С другой стороны,
S
ABO2 =
. AO2 . AB =
. 6
. 3

=
. 18

.
Из уравнения
. r(6 + 3

) =
. 18

находим, что
r =

= 6(

- 1).
Ответ
6(

- 1).