Задача No. 102306

Подсказка

Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AB в точке E. Тогда треугольник ACE равновелик данной трапеции.

Решение

Обозначим $\angle$ ABD = $\alpha$ . Тогда $\angle$ CAB = 2 $\alpha$ . Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AB в точке E. Тогда

$\displaystyle \angle$ AEC = $\displaystyle \angle$ ABD = $\displaystyle \alpha$ , CE = BD = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ a.

Применяя теорему синусов к треугольнику ACE, получим, что

$\displaystyle {\frac{CE}{\sin \angle CAE}}$ = $\displaystyle {\frac{AC}{\sin \angle AEC}}$ , или $\displaystyle {\frac{\frac{7}{5}a}{\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{\sin \alpha}}$ ,

или 7 sin $\alpha$ = 5 sin 2 $\alpha$ . Поскольку sin $\alpha$ $\ne$ 0, то из этого уравнения находим, что cos $\alpha$ = ${\frac{7}{10}}$ . Тогда sin $\alpha$ = ${\frac{\sqrt{51}}{10}}$ . Поэтому

sin 3 $\displaystyle \alpha$ = 3 sin $\displaystyle \alpha$ - 4 sin³ $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{12\sqrt{51}}{125}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = S_ACE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC^.CE sin(180^o - 3 $\displaystyle \alpha$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.a^. $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{5}}$ a^.sin 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{42\sqrt{51}}{625}}$ a².

Ответ

${\frac{42\sqrt{51}}{625}}$ a².

Условие

Подсказка

Решение

Ответ