Задача No. 102292

Подсказка

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная, а т.к. в трапецию вписана окружность, то боковая сторона видна из центра этой окружности под прямым углом.

Решение

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то трапеция — равнобедренная. Пусть окружность с центром O касается боковых сторон AB и CD трапеции ABCD соответственно в точках M и N, а оснований BC = 3 и AD = 5 — соответственно в точках K и L. Тогда

BM = BK = KC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , AM = AL = LD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AD = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{2}}$ .

Поскольку AO и BO — биссектрисы углов, сумма которых равна 180^o, то $\angle$ AOB = 90^o. Радиус OM — высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая из вершины прямого угла, поэтому

OM = $\displaystyle \sqrt{AM\cdot BM}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{2}}$ .

Прямоугольный треугольник OKB равен треугольнику OKC, следовательно,

S_MBCN = 2^.S_BOC = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.BC^.OK = 3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{15}$ .

Ответ

${\frac{3}{2}}$ $\sqrt{15}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ