---

Показать решение

---

Скрыть решение

Подсказка

Докажите, что прямые KD, BM и CL пересекаются в одной точке. Для этого воспользуйтесь следующим утверждением. Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма.

Решение

Воспользуемся следующим утверждением. Через точку X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной X равновелики тогда и только тогда, когда точка X лежит на диагонали параллелограмма. Пусть прямые BM и KD пересекаются в точке N. Докажем, что прямая CL проходит через точку N. Для этого проведём через точку N прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая, параллельная AB, пересекает стороны BC и AD соответственно в точках P и Q, а вторая прямая — стороны AB и CD соответственно в точках R и S. Продолжим LM и KL до пересечения со сторонами соответственно BC и CD в точках F и G. Пусть отрезки MF и RS пересекаются в точке E, а отрезки KG и PQ — в точке H. Поскольку точка N лежит на диагонали BM параллелограмма ABFM и на диагонали KD параллелограмма AKGD, то S_ARNQ = S_NPFE и S_ARNQ = S_NHGS. Значит, S_NPFE = S_NHGS, поэтому параллелограммы HPFL и ELGS равновелики. Следовательно, точка L лежит на диагонали CN параллелограмма NPCS. Поэтому прямая CL проходит через точку N. Из треугольника AKD по теореме косинусов находим, что

Следовательно,

Ответ

180^o - arccos = 105^o.