Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что прямые
KD,
BM и
CL пересекаются в одной точке. Для этого воспользуйтесь
следующим утверждением.
Через точку
X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда
два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной
X равновелики тогда и
только тогда, когда точка
X лежит на диагонали параллелограмма.
Решение
Воспользуемся следующим утверждением.
Через точку
X, лежащую внутри параллелограмма, проведены прямые, параллельные его сторонам. Тогда
два образовавшихся при этом параллелограмма с единственной общей вершиной
X равновелики тогда и
только тогда, когда точка
X лежит на диагонали параллелограмма.
Пусть прямые
BM и
KD пересекаются в точке
N. Докажем, что прямая
CL проходит через точку
N.
Для этого проведём через точку
N прямые, параллельные сторонам исходного параллелограмма. Пусть прямая,
параллельная
AB, пересекает стороны
BC и
AD соответственно в точках
P и
Q, а
вторая прямая — стороны
AB и
CD соответственно в точках
R и
S. Продолжим
LM и
KL до пересечения
со сторонами соответственно
BC и
CD в точках
F и
G. Пусть отрезки
MF и
RS пересекаются
в точке
E, а отрезки
KG и
PQ — в точке
H.
Поскольку точка
N лежит на
диагонали
BM параллелограмма
ABFM и на диагонали
KD параллелограмма
AKGD, то
SARNQ =
SNPFE и
SARNQ =
SNHGS. Значит,
SNPFE =
SNHGS, поэтому параллелограммы
HPFL и
ELGS равновелики. Следовательно, точка
L лежит на диагонали
CN параллелограмма
NPCS. Поэтому прямая
CL проходит через точку
N.
Из треугольника
AKD по теореме косинусов находим, что
KD2 =
AK2 +
AD2 - 2
. AK . AD . cos 60
o = 2
2 + (

+ 1)
2 - 2
. 2
. (

+ 1)
. 
= 6,
Следовательно,
AKD = arccos

= 75
o,
BKN = 180
o -
AKD = 180
o - 75
o = 105
o.
Ответ
180
o - arccos

= 105
o.