Скрыть решение
Подсказка
Пусть
O — центр окружности, вписанной в треугольник
ABC. Обозначьте
BAC =

,
выразите через

углы треугольника
BOC и примените к нему теорему синусов.
Решение
Пусть
O — центр окружности, вписанной в треугольник
ABC. Обозначим
BAC =
BCA =

,
OC =
x. Тогда
OB =
kx,
BCO =

,
OBC = 90
o -
(т.к.
O — точка пересечения биссектрис треугольника
ABC).
Применяя теорему синусов к треугольнику
BOC, получим равенство

=

, или

=

, или
k cos

= sin

.
Последнее уравнение можно привести к виду
2
k sin
2
+ sin

-
k = 0.
Поскольку
0 <

< 90
o, то
0 <

< 45
o, поэтому
0 < sin

<

.
Таким образом, нас устраивает только такой корень квадратного уравнения
kt2 +
t -
k = 0, который
удовлетворяет условию
0 <
t <

, т.е.
t =

.
Действительно, т.к.
k > 0, осталось проверить, что
что равносильно неравенству
1 + 8
k2 < 8
k2 + 4
k
+ 1, или
k > 0.
Следовательно,
ABC = 180
o - 2

= 180
o - 4 arcsin

.
Ответ
A =
C = 2 arcsin

,
B =

- 2
A,
k > 0.