Задача No. 102279

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначьте $\angle$ BAC = $\alpha$ , выразите через $\alpha$ углы треугольника BOC и примените к нему теорему синусов.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначим $\angle$ BAC = $\angle$ BCA = $\alpha$ , OC = x. Тогда

OB = kx, $\displaystyle \angle$ BCO = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ , $\displaystyle \angle$ OBC = 90^o - $\displaystyle \alpha$

(т.к. O — точка пересечения биссектрис треугольника ABC). Применяя теорему синусов к треугольнику BOC, получим равенство

$\displaystyle {\frac{BO}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{OC}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}}$ , или $\displaystyle {\frac{kx}{\sin \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{x}{\cos \alpha}}$ , или k cos $\displaystyle \alpha$ = sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ .

Последнее уравнение можно привести к виду

2k sin² $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ + sin $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ - k = 0.

Поскольку 0 < $\alpha$ < 90^o, то 0 < ${\frac{\alpha}{2}}$ < 45^o, поэтому 0 < sin ${\frac{\alpha}{2}}$ < ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . Таким образом, нас устраивает только такой корень квадратного уравнения kt² + t - k = 0, который удовлетворяет условию 0 < t < ${\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , т.е. t = ${\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}}$ . Действительно, т.к. k > 0, осталось проверить, что

$\displaystyle {\frac{\sqrt{1+8k^{2}}-1}{4k}}$ < $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ , т.е. $\displaystyle \sqrt{1+8k^{2}}$ < 2k $\displaystyle \sqrt{2}$ + 1,

что равносильно неравенству 1 + 8k² < 8k² + 4k $\sqrt{2}$ + 1, или k > 0. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = $\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \alpha$ = 2 arcsin $\displaystyle {\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}}$ ,

$\displaystyle \angle$ ABC = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ = 180^o - 4 arcsin $\displaystyle {\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}}$ .

Ответ

$\angle$ A = $\angle$ C = 2 arcsin ${\frac{\sqrt{8k^{2}+1}-1}{4k}}$ , $\angle$ B = $\pi$ - 2 $\angle$ A, k > 0.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ