Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что данный треугольник — равнобедренный. Далее примените
формулу для общей касательной двух касающихся окружностей радиусов
r и
R:
l = 2

.
Решение
Пусть первая (вписанная) окружность треугольника
ABC касается сторон
AB и
BC соответственно в точках
M и
P, вторая (вневписанная) окружность касается
продолжений сторон
AB и
BC соответственно в точках
N и
Q, а
K — точка
касания окружностей (
K на стороне
AC). По теореме о равенстве отрезков касательных,
проведённых к окружности из одной точки,
BN =
BQ,
BM =
BP,
MN =
PQ,
AM =
AK =
AN =
MN,
CP =
CK =
CQ =
PQ,
поэтому
AB =
BN -
AN =
BQ -
CQ =
BC, т.е. треугольник
ABC— равнобедренный. Его медиана
BK
является высотой.
Пусть
r и
R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда
AC =
MN =
PQ = 2

= 2

= 4

,
AK =
. AC = 2

.
Из прямоугольного треугольника
BAK находим, что
Следовательно,
AB +
BC +
AC = 3

+ 3

+ 4

= 10

.
Ответ
10

.