Задача No. 102274

Подсказка

Докажите, что данный треугольник — равнобедренный. Далее примените формулу для общей касательной двух касающихся окружностей радиусов r и R: l = 2 $\sqrt{rR}$ .

Решение

Пусть первая (вписанная) окружность треугольника ABC касается сторон AB и BC соответственно в точках M и P, вторая (вневписанная) окружность касается продолжений сторон AB и BC соответственно в точках N и Q, а K — точка касания окружностей (K на стороне AC). По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,

BN = BQ, BM = BP, MN = PQ, AM = AK = AN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN, CP = CK = CQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ PQ,

поэтому AB = BN - AN = BQ - CQ = BC, т.е. треугольник ABC— равнобедренный. Его медиана BK является высотой. Пусть r и R — радиусы соответственно первой и второй окружностей. Тогда

AC = MN = PQ = 2 $\displaystyle \sqrt{rR}$ = 2 $\displaystyle \sqrt{20}$ = 4 $\displaystyle \sqrt{5}$ , AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AC = 2 $\displaystyle \sqrt{5}$ .