Скрыть решение
Подсказка
Пусть
K,
L и
M — середины сторон соответственно
AB,
BC и
AC треугольника
ABC.
Тогда треугольник
ABC подобен треугольнику
LMK с коэффициентом 2.
Решение
Пусть
K,
L и
M — середины сторон соответственно
AB,
BC и
AC треугольника
ABC,
AP — искомая высота.
Треугольник
ABC подобен треугольнику
LMK с коэффициентом 2. Если
R — радиус
окружности, описанной около треугольника
KLM, то
ML = 2
R sin
MKL = 4
. sin 105
o = 4
. 
=

+

.
Пусть
LH — высота треугольника
KLM. Из прямоугольного треугольника
MHL находим,
что
LH =
ML . sin
KML = (

+

)
. sin 45
o = 1 +

.
Следовательно,
AP = 2
LH = 2 + 2

.
Ответ
2 + 2

.