Подсказка
Пусть K, L и M — середины сторон соответственно AB, BC и AC треугольника ABC. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику LMK с коэффициентом 2.Решение
Пусть K, L и M — середины сторон соответственно AB, BC и AC треугольника ABC, AP — искомая высота. Треугольник ABC подобен треугольнику LMK с коэффициентом 2. Если R — радиус окружности, описанной около треугольника KLM, то
ML = 2R sin
MKL = 4 . sin 105o = 4 . 
= 
+ 
.
Пусть LH — высота треугольника KLM. Из прямоугольного треугольника MHL находим,
что
MKL = 4 . sin 105o = 4 . = + .
LH = ML . sin
KML = (
+ 
) . sin 45o = 1 + 
.
Следовательно,
AP = 2LH = 2 + 2KML = ( + ) . sin 45o = 1 + .
.
Ответ
2 + 2
.