Скрыть решение
Подсказка
Найдите тригонометрические функции угла
ABC; продолжите до пересечения стороны
AD и
BC.
Решение
Пусть окружность с центром
O касается сторон
AB,
BC,
CD и
AD данного
четырёхугольника соответственно в точках
M,
N,
K и
L. Тогда
AMOL — квадрат.
Поэтому
BN = BM = AB - AM = 5 - 2 = 3, CK = CN = BC - BN = 6 - 3 = 3.
Продолжим стороны
AD и
BC до пересечения в точке
Q.
Обозначим
OBM =
OBN =

,
AQB =

.
Из прямоугольного треугольника
OBM находим, что


=

=

.
Тогда
AQ =
AB
2

= 5
. 
= 12,
QL =
AQ -
AL = 12 - 2 = 10,
BQ =

= 12 :

= 13,
CQ =
BQ -
BC = 13 - 6 = 7.
Обозначим
DK =
DL =
t. Тогда
CD =
DK +
KC =
t + 3,
DQ =
QL -
DL = 10 -
t.
Применим теорему косинусов к треугольнику
CDQ:
CD2 =
DQ2 +
CQ2 - 2
. DQ . CQ . cos

,
или
(
t + 3)
2 = 49 + (10 -
t)
2 - 2
. 7(10 -
t)
. 
.
Из этого уравнения находим, что
t =

. Следовательно,
SABCD =
. OM =
. 2 =

= 17

.
Ответ
17

.