Задача No. 102251

Подсказка

Треугольники ABC и GAC подобны по двум углам.

Решение

Пусть CG = t, $\angle$ CAG = $\alpha$ . Тогда BC = 3t, а т.к. CE — высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, то $\angle$ ABC = $\angle$ ACE. Поскольку трапеция AEFC вписана в окружность, то она равнобедренная, поэтому $\angle$ ACE = $\angle$ CAG = $\alpha$ . Значит, $\angle$ ABC = $\angle$ CAG = $\alpha$ . Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и GAC подобны по двум углам. Из равенства ${\frac{CG}{AC}}$ = ${\frac{AC}{BC}}$ следует, что AC² = CG^.BC, или 12 = 3t², откуда t = 2. Из прямоугольного треугольника ACG находим, что

$\displaystyle \tg$ $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{CG}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{2\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ ,

поэтому $\alpha$ = 30^o. Тогда AG = 2CG = 4. По теореме о касательной и секущей GF^.AG = CG², или 4FG = 4. Следовательно, FG = 1.

Условие

Подсказка

Решение

Ответ