Скрыть решение
Подсказка
Докажите, что
ACB =
CDE.
Решение
Поскольку трапеция
BCDE вписана в окружность, то она равнобедренная.
Заметим, что угол
CDE — тупой, поэтому для любой точки
X, отличной от
E и
лежащей на дуге
CE, содержащей точку
D,
CX <
CE = 10 (в треугольнике
CDE против
тупого угла лежит наибольшая сторона). Следовательно, точка не может лежать на этой
дуге. Точка
A не может лежать и на дуге
BC, не содержащей точки
D (
CB =
DE <
CE = 10).
Таким образом, точка
A лежит на дуге
BE, не содержащей точки
C.
Докажем равенство углов
ACB и
CED. Действительно,
BAC =
BEC =
DCE,
а т.к.
ABE =
ACE =
ADE и
CBE =
CAE =
CEA =
ADC,
то
ABC =
ABE +
CBE =
ADE +
ADC =
CDE.
Поэтому равны и углы
ACB =
CED (как оставшиеся углы треугольников
ABC и
CDE). Следовательно, равны и хорды, на которые опираются эти углы,
т.е.
AB =
CD = 3.
Обозначим
ABE =
ACE =

. Из треугольников
ABE и
ACE по теореме
косинусов находим, что
AE2 =
AB2 +
BE2 - 2
AB . BE . cos

= 9 + 169 - 2
. 3
. 13
. cos

= 178 - 78 cos

,
AE2 =
AC2 +
CE2 - 2
AC . CE . cos

= 100 + 100 - 2
. 10
. 10
. cos

= 200 - 200 cos

.
Из уравнения
178 - 78 cos

= 200 - 200 cos

находим
cos

=

.
Тогда
Поэтому
S
ABE =
AB . BE . sin

=
. 3
. 13
. 
=

.
Пусть
CH — высота равнобедренной трапеции
BCDE. Тогда
EH =

=

= 8.
Из прямоугольного треугольника
CHE находим, что
CH =

=

= 6.
Поэтому
SBCDE =
. CH = 8
. 6 = 48.
Следовательно,
SBCDEA =
SBCDE +
S
ABE = 48 +

=

.
Ответ
3;

.