Задача No. 102249

Подсказка

Докажите, что $\angle$ ACB = $\angle$ CDE.

Решение

Поскольку трапеция BCDE вписана в окружность, то она равнобедренная. Заметим, что угол CDE — тупой, поэтому для любой точки X, отличной от E и лежащей на дуге CE, содержащей точку D, CX < CE = 10 (в треугольнике CDE против тупого угла лежит наибольшая сторона). Следовательно, точка не может лежать на этой дуге. Точка A не может лежать и на дуге BC, не содержащей точки D ( CB = DE < CE = 10). Таким образом, точка A лежит на дуге BE, не содержащей точки C. Докажем равенство углов $\angle$ ACB и $\angle$ CED. Действительно, $\angle$ BAC = $\angle$ BEC = $\angle$ DCE, а т.к.

$\displaystyle \angle$ ABE = $\displaystyle \angle$ ACE = $\displaystyle \angle$ ADE и $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ CAE = $\displaystyle \angle$ CEA = $\displaystyle \angle$ ADC,

то

$\displaystyle \angle$ ABC = $\displaystyle \angle$ ABE + $\displaystyle \angle$ CBE = $\displaystyle \angle$ ADE + $\displaystyle \angle$ ADC = $\displaystyle \angle$ CDE.

Поэтому равны и углы $\angle$ ACB = $\angle$ CED (как оставшиеся углы треугольников ABC и CDE). Следовательно, равны и хорды, на которые опираются эти углы, т.е. AB = CD = 3. Обозначим $\angle$ ABE = $\angle$ ACE = $\alpha$ . Из треугольников ABE и ACE по теореме косинусов находим, что

AE² = AB² + BE² - 2AB^.BE^.cos $\displaystyle \alpha$ = 9 + 169 - 2^.3^.13^.cos $\displaystyle \alpha$ = 178 - 78 cos $\displaystyle \alpha$ ,

AE² = AC² + CE² - 2AC^.CE^.cos $\displaystyle \alpha$ = 100 + 100 - 2^.10^.10^.cos $\displaystyle \alpha$ = 200 - 200 cos $\displaystyle \alpha$ .

Из уравнения 178 - 78 cos $\alpha$ = 200 - 200 cos $\alpha$ находим cos $\alpha$ = ${\frac{11}{61}}$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1-\cos^{2} \alpha}$ = $\displaystyle \sqrt{1-\frac{11^{2}}{61^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{(61-11)(61+11)}}{61}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{60}{61}}$ .

Поэтому

S_ABE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB^.BE^.sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.3^.13^. $\displaystyle {\textstyle\frac{60}{61}}$ = $\displaystyle {\frac{3\cdot 13\cdot 30}{61}}$ .