Задача No. 102245

Подсказка

Пусть $\angle$ GCA = $\alpha$ . Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG, составьте уравнение относительно sin $\alpha$ .

Решение

Пусть EG = x, тогда BE = AE = 2x, GF = 2x, AC = 2EF = 6x. Если расстояние между параллельными прямыми EF и AC равно h, то

S_ABG = 2S_AEG = 2^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ EG^.h = xh, S_AGC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.h = 3xh.

Следовательно, S_ABG : S_AGC = 1 : 3. Обозначим $\angle$ GCA = $\alpha$ , AG = t. Тогда $\angle$ EGA = $\angle$ GAC = 90^o - $\alpha$ , t = AC sin $\alpha$ = 6x sin $\alpha$ . Применяя теорему косинусов к треугольнику AEG, получим уравнение

4x² = x² + t² - 2xt cos(90^o - $\displaystyle \alpha$ ),

или

4x² = x² + 36x²sin² $\displaystyle \alpha$ - 12x²sin² $\displaystyle \alpha$ ,

откуда находим, что sin² $\alpha$ = ${\frac{1}{8}}$ .

Ответ

а) 1:3; б) arcsin ${\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ .

Условие

Подсказка

Решение

Ответ