Скрыть решение
Решение
Проведем биссектрисы
внешних углов треугольника A1B1C1. Пусть биссектрисы внешних углов B1 и C1
пересекаются в точке A2, и
т.д. Через точку A2 проходит
также биссектриса угла A1
(поскольку точка A2 равноудалена
от прямых A1B1, B1C1
и A1C1), т.е прямая A1A.
Значит, в треугольнике A2B2C2 прямые AA1,
BB1 и СС1 являются высотами. Докажем,
что треугольники A2B2C2 и ABC
совпадают.
Пусть это не так,
например, точка A2 находится
вне треугольника ABC. Тогда луч A2B2 пересекает сторону AB
треугольника ABB1
(в точке C1) и не
пересекает сторону AB1
(их разделяет прямая A2A1). Следовательно, он пересекает сторону BB1,
то есть точка B2
находится внутри отрезка BB1,
а значит, внутри треугольника ABC.
Аналогично C2
находится внутри треугольника ABC. Но
отрезок B2C2 пересекает сторону BC в точке A1. Противоречие.
Аналогично к противоречию
ведет предположение о том, что A2
находится внутри треугольника ABC.