---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Проведем биссектрисы внешних углов треугольника A₁B₁C₁. Пусть биссектрисы внешних углов B₁ и C₁ пересекаются в точке A₂, и т.д. Через точку A₂ проходит также биссектриса угла A₁ (поскольку точка A₂ равноудалена от прямых A₁B₁, B₁C₁ и A₁C₁), т.е прямая A₁A. Значит, в треугольнике A₂B₂C₂ прямые AA₁, BB₁ и СС₁ являются высотами. Докажем, что треугольники A₂B₂C₂ и ABC совпадают.

Пусть это не так, например, точка A₂ находится вне треугольника ABC. Тогда луч A₂B₂ пересекает сторону AB треугольника ABB₁ (в точке C₁) и не пересекает сторону AB₁ (их разделяет прямая A₂A₁). Следовательно, он пересекает сторону BB₁, то есть точка B₂ находится внутри отрезка BB₁, а значит, внутри треугольника ABC. Аналогично C₂ находится внутри треугольника ABC. Но отрезок B₂C₂ пересекает сторону BC в точке A₁. Противоречие.

Аналогично к противоречию ведет предположение о том, что A₂ находится внутри треугольника ABC.