Арифметическая прогрессия

Напомним: арифметической прогрессией называется последовательность, у которой любой член, кроме первого, является средним арифметическим двух соседних: an = an – 1 + an + 1. Разность между двумя соседними членами арифметической прогрессии постоянна: d = an + 1 – an (это число так и называется разностью арифметической прогрессии), т. е. каждый член отличается от предыдущего на d. Нетрудно видеть, что общая формула n-го члена арифметической прогрессии an = a1 + (n – 1) d; члены с номерами an и am отличаются на (n – md.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии Sn = na1 + d ∙ (n – 1) ∙ n / 2. Эта формула в истории выводилась неоднократно и разными способами. Например, можно вспомнить, как пифагорейцы выводили сумму первых n натуральных чисел, т. е. n-го треугольного числа (см. «Фигурные числа пифагорейцев»). С помощью картинки непосредственно видно, что треугольник, образованный первыми n натуральными числами, является половиной прямоугольника со сторонами n и (n + 1), следовательно, сумма первых n натуральных чисел равна (n + 1) n/2.

Рис. 1. Арифметическая прогрессия, n = 7, Sn = 28


Похожим образом рассуждал, согласно легенде, маленький Карл Фридрих Гаусс, по праву называвшийся «королем математиков» (princeps mathematicorum). Когда учитель в школе дал ученикам задачу просуммировать все числа от 1 до 40, ученики стали последовательно прибавлять одно число к другому, а Гаусс быстро увидел, что 1 + 40 = 2 + 39 = 3 + 38 = 4 + 37 = ... = 19 + 22 = 20 + 21. Сумма чисел каждой пары равна 41, а всего пар 40/2 = 20, и сумма всех чисел во всех парах будет равна 20 ∙ 41 = 820. Естественно, точно так же можно рассуждать при любом четном количестве чисел n: при этом пар будет n/2, а сумма чисел в каждой паре (n + 1).

Если же надо просуммировать нечетное количество первых натуральных чисел, то их пар будет (n – 1) / 2, сумма чисел в каждой паре (n + 1), и еще, сверх того, будет одно число (n + 1) / 2 (среднее арифметическое 1 и n), ни в одну пару не вошедшее:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = (1 + 7) + (2 + 6) + (3 + 5) + 4.
Итого, общая сумма равна:
(n + 1) (n – 1) / 2 + (n + 1) / 2 = n (n + 1) / 2.

 

Рис. 2. Сумма арифметической прогрессии


Зная сумму первых n натуральных чисел, легко найти и сумму первых n членов любой арифметической прогрессии:

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n – 1) d) = na1 + (d + 2d + ... + (n – 1) d) = na1 + d (1 + 2 + ... + (n – 1)) = na1 + d ∙ (n – 1) ∙ n / 2.

Можно это показать и непосредственно с помощью похожих картинок.

Рис. 3. Сумма арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...


Эти же рисунки демонстрируют и еще одну формулу: Sn = n (a1 + an) / 2.

Общая формула для суммы арифметической прогрессии позволяет немедленно доказать утверждение, которое в уроке «Фигурные числа пифагорейцев» обосновывалось графически: а именно, сумма первых n нечетных чисел равна n2.

Доказательство


Рис. 4. Папирус Райнда, XIX в. до н. э.


Задачи на арифметическую прогрессию существовали уже в Древнем Египте. Например, в одном из древних папирусов математического содержания – папирусе Райнда (XIX в. до н. э.) – приводится следующая задача. «Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры».

Решение

В древнегреческих математических текстах встречаются довольно изящные теоремы, относящиеся к арифметической прогрессии. Вот какое утверждение сформулировал Гипсикл Александрийский (II в. до н. э.), добавивший XIV книгу к «Началам» Евклида и составивший много интересных задач: «В арифметической прогрессии с четным числом членов сумма членов второй половины превышает сумму членов первой половины на число, кратное квадрату половины числа членов» (очевидно, имеется в виду, что разность прогрессии – натуральное число: только натуральные числа считались числами (см. «Числа и величины в древнегреческой математике»).

Доказательство

Никомах из Геразы (I в. н. э.) составил трактат «Введение в арифметику», который долгое время в поздней античности и в средневековье был распространенным учебником математики: «Если разбить ряд всех нечетных чисел на группы, в которых число членов будет возрастать как ряд натуральных чисел, то сумма членов каждой группы будет равна кубу числа членов в ней». Проверьте этот факт для нескольких групп и докажите теорему.

Доказательство