Урок 3.11 Решение задач с параметром
с использованием графиков
входящих в условие задачи функций

Пример 2

При каких значениях параметра a система уравнений
имеет ровно восемь решений?

Решение

Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy линии, задаваемые уравнениями (1) и (2) исходной системы, и, пользуясь геометрическими соображениями, выделим те значения параметра a, при которых эти линии имеют ровно восемь общих точек, все такие a и составляют ответ задачи.
Уравнение (1) задает на координатной плоскости окружность L радиуса 1 с центром в начале координат.
Уравнение (2) имеет смысл рассматривать только для значений a > 0 (для значений a < 0 уравнение (2) не имеет решений, а для a = 0 ему отвечает только точка O(0; 0)). При a > 0 оно задает контур K(a) квадрата с центром O(0; 0) и вершинами A(–a; 0); В(0; а); С(а; 0); D(0; –а).

Требуется назвать все такие значения параметра a, при которых контур K(a) квадрата пересекает окружность L в восьми различных точках. Из рисунка следует, что контур K(a) может принимать любое положение, промежуточное между положениями K1 и K2 (исключая сами эти крайние положения). В случае K1 вершины квадрата лежат на единичной окружности L, поэтому a = 1. Стороны квадрата K2 касаются этой окружности, причем треугольник A2OB2 – прямоугольный и равнобедренный, причем OP = 1 – его высота, поэтому a = OB2 = .

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"