Урок 1.9. Логарифмические уравнения
с параметром

Пример 2

Решить при всех a: logx + 1(x2 + a) = 2.

Решение

Из определения логарифма следует, что x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1 и x2 + a > 0. Получаем уравнение x2 + a = (x + 1)2. Из ограничения x + 1 > 0 следует, что
x
2 + a >
0. Следовательно, нужно найти решения уравнения x2 + a = (x + 1)2, удовлетворяющие неравенствам x + 1 > 0 и x ≠ 0.

Раскроем скобки в правой части уравнения: x2 + a = x2 + 2x + 1.
Вычитая x2 + 2x + a из обеих частей уравнения, находим –2x = 1 – a,откуда получаем: .

Из ограничения x + 1 > 0 следует , откуда a – 1 + 2 > 0. Значит,
a > –1. Из ограничения x ≠ 0 находим , что влечет a ≠ 1.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"