Решение
Заметим, что целая часть числа a ≥ 1 равна количеству натуральных чисел, меньших или равных a. В частности, [
] – 1 есть число натуральных y ≥ 2, таких что y ≤ 
, т. е. yk ≤ n. Следовательно, сумма ([
] – 1) +([
] – 1) + ...+ [
– 1] равна количеству N всех пар (k, y) натуральных чисел, больших 1, удовлетворяющих неравенству yk ≤ n (при k > n это неравенство решений не имеет, так как 2n ≥ n).Аналогично рассматривается правая часть: [log y n] – 1 — это число натуральных k ≥ 2, таких что k ≤ log y n, т. е. yk ≤ n. Поэтому
([log 2 n] – 1) +([log 3 n] – 1) + ...+ [log n n] – 1 = N
(при y > n, k ≥ 2 неравенство yk ≤ n, очевидно, не выполняется). Итак, обе части нашего равенства равны N + n – 1.