Скрыть решение
Решение
Заметим, что целая часть числа
a ≥ 1 равна количеству натуральных чисел, меньших или равных
a. В частности, [

] – 1 есть число натуральных
y ≥ 2, таких что
y ≤

, т. е.
yk ≤
n. Следовательно, сумма ([

] – 1) +([

] – 1) + ...+ [

– 1] равна количеству
N всех пар (
k,
y) натуральных чисел, больших 1, удовлетворяющих неравенству
yk ≤
n (при
k >
n это неравенство решений не имеет, так как 2
n ≥
n).
Аналогично рассматривается правая часть: [log
y n] – 1 — это число натуральных
k ≥ 2, таких что
k ≤ log
y n, т. е.
yk ≤
n. Поэтому
([log 2 n] – 1) +([log 3 n] – 1) + ...+ [log n n] – 1 = N
(при
y >
n,
k ≥ 2 неравенство
yk ≤
n, очевидно, не выполняется). Итак, обе части нашего равенства равны
N +
n – 1.