, 
и 
равна 
. Докажите, что P , M и K – середины сторон
треугольника ABC .
Решение
Заметим (рис.1), что
+
+
=
(
+
) +
(
+
) +
(
+
)=
+
+ 
)+
(
+
+
)= 
+
= 
.
Пусть
=p
, 
=q
,
=r
.
Тогда
= 
+
+
=
p
+q
+r
.
Поэтому
+r
= p
=
p
+p
.
Поскольку векторы
и 
неколлинеарны,
отсюда следует, что p=q=r .
Пусть медианы AA1 , BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке
G (рис.2). Предположим, что p=q=r< 
. Тогда точка пересечения отрезков AM и
BK лежит внутри треугольника AB1G , а точка пересечения отрезков CP и BK –
внутри треугольника BC1G , что невозможно (эти точки совпадают по условию).
Аналогично докажем, что случай p=q=r> 
также невозможен.
Следовательно, p=q=r=
. Значит, точки P , M и K – середины сторон
треугольника ABC .
