---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Поскольку оси пружин и спицы совпадают с осью кольца, и размерами бусинки, которая может перемещаться только по спице, как обычно, можно пренебречь, имеет место осевая симметрия в расположении тел. Поэтому можно считать, что по тонкому проводящему кольцу заряд распределен равномерно. Учитывая это и то, что в положении равновесия бусинка находится в центре кольца, можно утверждать, что при равновесном положении бусинки деформации одинаковых пружины должны быть одинаковы. Отсюда следует, что при смещении бусинки вдоль оси кольца на расстояние от равновесного положения равнодействующая сил упругих деформаций пружин будет направлена к положению равновесия вдоль оси пружин, а по величине, согласно закону Гука, она должна быть равна .

Наряду с силами упругих деформаций пружин, на бусинку при ее смещении от положения равновесия будут действовать электрические силы со стороны заряженного кольца. Чтобы определить величину и направление этих сил, рассмотрим часть дуги кольца, ограниченную центральным углом , показанным на рисунке. При достаточно малой величине угла размерами указанного участка дуги кольца можно пренебречь. Учитывая, что заряд этого участка, согласно сказанному выше, должен быть равен , можно утверждать, что напряженность поля , создаваемого этим зарядом в точке, находящейся на оси на расстоянии от центра кольца, будет направлена так, как показано на рисунке (считая, конечно, заряд кольца положительным), а ее величина должна быть равна

где — электрическая постоянная. Диаметрально противоположный участок кольца таких же размеров в рассматриваемой точке создает поле c напряженностью , составляющая которой, перпендикулярная оси , имеет ту же величину, но направлена противоположно аналогичной компоненте поля . Поэтому на основании принципа суперпозиции можно утверждать, что напряженность поля, создаваемого всем кольцом, направлена вдоль оси и равна

Отсюда, пренебрегая размерами бусинки, получаем, что электрическая сила, действующая на нее, в соответствии с определением напряженности электрического поля равна и направлена вдоль оси к плоскости кольца, т.к. знаки зарядов кольца и бусинки противоположны.

Будем, как это обычно и делается, считать лабораторную систему отсчета, относительно которой кольцо неподвижно, инерциальной и пренебрегать силами трения, действующими на движущиеся части. Тогда, пренебрегая в соответствии с условием массой пружин, на основании второго закона Ньютона уравнение движения бусинки в проекции на ось можно представить в виде

где — проекция ускорения бусинки на ось . Поскольку требуется определить период малых колебаний, то следует считать, что амплитуда колебаний бусинки много меньше радиуса кольца, а потому всегда должно соблюдаться неравенство , и уравнение движения можно представить в виде

Из полученного уравнения видно, что ускорение бусинки прямо пропорционально ее смещению от положения равновесия и направлено к этому положению. Следовательно, после малого отклонения от положения равновесия бусинка будет совершать гармонические колебания. Вспоминая, что при прямолинейных гармонических колебаниях квадрат угловой частоты равен модулю отношения ускорения колеблющегося тела к его смещению от положения равновесия в тот же момент времени, а период колебаний обратно пропорционален угловой частоте, получим, что искомый период малых колебаний равен

 

Ответ

.