Условие


Для каждого натурального N обозначим через P(N) число разбиений N в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4)=5, потому что 4=4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1 - то-есть пять способов).
а)(9) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4=1+1+2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа).
Докажите, что сумма разбросов всех разбиений числа N равна
1+P(1)+P(2)+...+P(N-1).
б)(3) Докажите, что это число не больше, чем (2*N*P(N))1/2.
(в другом месте было написано 2*N*(P(N))1/2. - Ред.)


Показать решение