Особенности решения графических задач по кинематике

Зная уравнения зависимости координаты (либо перемещения) и скорости тела от времени, мы получаем возможность не только решать задачи на расчет входящих в них величин, но и можем построить графики соответствующих зависимостей для разных вариантов равнопеременного движения.

Типовой графической задачей по кинематике прямолинейного движения является задача на построение одних графиков по другим. На качественном уровне рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1Графическая задача по кинематике
Рис. 1

Дан график зависимости скорости движения тела от времени.

По этому графику требуется восстановить графики зависимости ускорения тела от времени и координаты от времени.


Рис. 2

Выясним, как движется тело на разных участках.

На участке 0–1 тело движется равноускоренно.

Уравнение зависимости ускорения от времени имеет вид: a = const (a>0).

Рис. 3

На графике зависимости ускорения от времени это движение отображается при помощи горизонтальной линии, параллельной оси времени.

Уравнение зависимости скорости от времени имеет вид: υx = υ0x + ax ∙ Δt.

Так как начальная скорость тела равно нулю, то для данного участка υx = a1x ∙ Δt. Скорость тела линейно растет с течением времени.

Зависимость координаты от времени в общем случае отображается уравнением

Рис. 4

В данном случае, если начальная координата и начальная скорость равны нулю, то Графиком такого уравнения является парабола, ветви которой направлены вверх, для участка же 0–1 – одна из ее ветвей.

Рис. 5

На участке 1–2 тело движется равномерно.

Уравнение зависимости ускорения от времени имеет вид: a = 0

На графике зависимости ускорения от времени это движение отображается при помощи горизонтальной линии, совпадающей с осью времени.

Уравнение зависимости скорости от времени имеет вид: υx = const.

Рис. 6

На графике зависимости скорости от времени это движение отображается при помощи горизонтальной линии, параллельной оси времени.

Зависимость координаты от времени для равномерного движения с положительной скоростью отображается уравнением x = x0 + υx ∙ Δt.

Рис. 7

Графиком является отрезок прямой линии, наклонной к осям координат.

На участке 2–3 тело движется равнозамедленно.

Уравнение зависимости ускорения от времени имеет вид: a = const (a<0).

На графике зависимости ускорения от времени это движение отображается при помощи горизонтальной линии, параллельной оси времени.

Уравнение зависимости скорости от времени имеет вид: υx = υ0x + ax ∙ Δt.

Начальная скорость тела не равна нулю. Скорость тела линейно убывает с течением времени.

Рис. 8

Зависимость координаты от времени отображается уравнением

Графиком такого уравнения является парабола, ветви которой направлены вниз, для участка же 2–3 – ее левая ветвь.

Выше мы рассмотрели движение на участках. Теперь необходимо обратить внимание на точки перегиба.

Вернемся к этим точкам, предварительно вспомнив, что на графике зависимости координаты от времени мы можем отобразить и скорость, которой обладает тело в какой-либо точке, и определить значение этой скорости.

Рис. 9

Графическая интерпретация мгновенной скорости состоит в том, что она численно равна тангенсу угла наклона касательной к точке, лежащей на линии, отображающей движение в осях координата (перемещение) – время.

Рис. 10

Если на общем графике зависимости координаты тела от времени движения механически состыковать графики, построенные для отдельных участков, может возникнуть сложность с определением скорости тела в точке перегиба. С одной стороны тело в данной точке уже обладает скоростью, определяемой через tg С другой стороны она определяется и через tg Но ведь не может же быть, чтобы тело одновременно обладало двумя разными скоростями. Значит, приведенный фрагмент графика неверен.

Рис. 11

Чтобы устранить данное противоречие необходимо строить график, состоящий из сопряженных между собой участков.

Таким образом, следует помнить, что строя соответствующие графики, мы должны не только рассматривать движение на участках, но и анализировать точки перегиба.