---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

По условию задачи размеры шарика малы по сравнению с расстоянием от него до плоскости. Поэтому шарик можно считать точечным зарядом. Учитывая, что требуется найти амплитуду малых колебаний, а длина нити сравнима с , можно считать, что при таких колебаниях расстояние между шариком и плоскостью остается практически неизменным и равным .

Как известно, если к проводнику, т.е. телу, в котором имеются свободные носители электрического заряда (носители, способные перемещаться в пределах всего проводника под действием сколь угодно малых сил), начать подносить заряженное тело, то в проводнике возникнет движение свободных зарядов. Оно будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы всех точек проводника не станут одинаковыми. Другими словами, в проводнике будет существовать электрический ток до тех пор, пока линии напряженности поля, порождаемого заряженным телом и зарядами проводника, вблизи его поверхности не станут перпендикулярными поверхности проводника. Время установления равновесного распределения свободных зарядов и потери энергии, обусловленные движением этих зарядов, должны быть тем меньше, чем меньше удельное сопротивление проводника. Поскольку плоскость является идеально проводящей, будем считать, что распределение свободных зарядов по плоскости в любой момент времени совпадает с тем, каким бы оно было, если бы шарик в данном положении находился бесконечно долго, и будем пренебрегать указанными выше потерями.

Известно, что разность потенциалов между двумя точками поля, находящимися на одинаковых расстояниях от двух разноименных точечных зарядов, равных по абсолютной величине, равна нулю. Поэтому силовые линии поля двух указанных точечных зарядов должны быть не только симметричны относительно плоскости, перпендикулярной прямой, соединяющей эти заряды и проходящей через ее середину, но и в непосредственной близости от этой плоскости быть ей перпендикулярными. Следовательно, можно утверждать, что электрическое поле двух точечных зарядов и по одну сторону от плоскости симметрии должно быть таким же, как и поле над проводящей плоскостью со стороны шарика с зарядом , если расстояние между зарядами равно . Учитывая все сказанное выше, на основании закона Кулона можно утверждать, что на шарик со стороны плоскости должна действовать направленная вертикально вниз сила , где — электрическая постоянная. Поскольку силами трения и потерями энергии, связанными с перераспределением свободных зарядов по плоскости при движении шарика, можно пренебречь, проекция вектора ускорения шарика на направление касательной к его траектории будет зависеть только от силы и силы тяжести , где — ускорение свободного падения. Поэтому согласно второму закону Ньютона в тот момент, когда шарик находится на расстоянии от положения равновесия, т.е. нить отклонена от вертикали на угол , тангенциальная составляющая ускорения шарика будет равна . Учитывая, что при и измерении величины угла в радианах , тангенциальная составляющая ускорения прямо пропорциональна смещению шарика от положения равновесия и направлена к нему, малые колебания шарика должны быть гармоническими. Поскольку при таких колебаниях , а угловая частота колебаний и их период связаны соотношением , искомый период должен быть равен

 

Ответ

.