Урок 3.4 Метод трех точек в решении задач
с параметрами

Пример 2

Найти все пары чисел p и q, при которых наибольшее значение функции на отрезке [m; n] является наименьшим.

Решение

Обозначим буквой M наибольшее значение функции на отрезке [m; n], тогда для концов отрезка и для его середины должны выполняться неравенства:
Найдем условия, при которых эта система разрешима относительно параметров p и q. Для этого решим её относительно q, считая p параметром: .
Каждое из трех двойных неравенств последней системы задает отрезок значений коэффициента q. Если выписанная система имеет хотя бы одно решение q, то все эти три отрезка должны иметь непустое общее пересечение. Но три отрезка имеют непустое общее пересечение тогда и только тогда, когда левый конец любого из них находится не правее правого конца любого другого отрезка. Запишем это условие системой неравенств:
.
Решим теперь последнюю систему относительно p, обозначив mn = l.
.
Как и ранее, эта система задает условие непустоты пересечения трех отрезков, что возможно только при условии . Итак, показано, что наименьшее значение максимума функции на отрезке [m; n] не может быть меньше числа .
Докажем теперь, что при некоторых p и q выполняется равенство .
Подставив это значение вместо M в последнюю систему, находим , затем подставляем это значение в систему
,
из которой находим .
Если теперь рассмотреть , то получим: , причем равенство в этом неравенстве достигается на концах отрезка [m; n].

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"