Задача по физике N1621

В магнитном поле с индукцией

находится прямая бесконечная равномерно заряженная нить, расположенная параллельно линиям поля. В плоскости, перпендикулярной нити, по окружности, центр которой лежит на нити, движется частица массой

, имеющая заряд

. Если бы направление магнитного поля было противоположным, то частица двигалась бы по той же окружности и в том же направлении, но период ее обращения изменился бы на величину

. Каким был бы период обращения частицы по той же окружности в отсутствие магнитного поля? Считать, что во всех случаях действием сил тяжести и сил сопротивления на частицу можно пренебречь.

Скрыть решение

Решение

Будем считать нить неподвижной относительно инерциальной системы отсчета. Тогда, учитывая, что нить прямая, бесконечно длинная и заряжена равномерно, исходя из соображений симметрии, можно утверждать, что вектор напряженности созданного ею электростатического поля направлен перпендикулярно нити, а его величина в равноудаленных от нити точках одинакова. Следовательно, действующая на заряженную частицу со стороны электростатического поля нити сила (электрическая составляющая силы Лоренца: может быть направлена только вдоль радиуса окружности, по которой движется эта частица. По условию задачи действием сил тяжести и сил сопротивления на частицу следует пренебречь. Поэтому в отсутствие магнитного поля на частицу действует лишь электрическая составляющая силы Лоренца, линия действия которой, как было показано выше, перпендикулярна скорости частицы. Следовательно, величина скорости частицы должна оставаться постоянной, а ее центростремительное ускорение должна обеспечивать эта сила. Поэтому можно утверждать, что заряды нити и частицы должны быть разноименными, а уравнение движения частицы должно иметь вид: , где — угловая скорость движения частицы в отсутствие магнитного поля.

При наличии магнитного поля, линии индукции которого параллельны нити, на частицу будет действовать и магнитная составляющая силы Лоренца: . Линия действия этой силы совпадает с линией действия электрической составляющей силы Лоренца. Поэтому при наличии магнитного поля величина центростремительного ускорения частицы будет либо больше, либо меньше, чем в отсутствие магнитного поля, т.к. радиус окружности, по которой движется частица, остается неизменным. Поскольку при равномерном движении по окружности произведение угловой скорости на период обращения равно , уравнение движения частицы при наличии магнитного поля можно записать в виде:

$\begin{displaymath} m \left( {\mathchoice{\displaystyle\frac{2 \pi }{T_+ }}{\di... ...pi }{T_+ }}{\displaystyle\frac{2 \pi }{T_+ }} R B} \right), \end{displaymath}$

либо

$\begin{displaymath} m \left( {\mathchoice{\displaystyle\frac{2 \pi }{T_- }}{\di... ...pi }{T_- }}{\displaystyle\frac{2 \pi }{T_- }} R B} \right), \end{displaymath}$

причем первое из этих уравнений соответствует случаю, когда электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца направлены одинаково, а второе — в противоположные стороны. Определив из этих двух соотношений периоды обращения частицы при наличии магнитного поля, можно доказать, что величина напряженности электростатического поля нити должна быть равна , т.к. по условию задачи . Подставляя это значение в уравнение движения частицы в отсутствие магнитного поля, определим искомый период ее обращения:

$\begin{displaymath} T_0 = \mathchoice{\displaystyle\frac{2 \pi }{\omega _0 }}{\... ...{2 \pi m}{q B}}{\displaystyle\frac{2 \pi m}{q B}} \Delta T} . \end{displaymath}$

Ответ