Скрыть решение
Решение
Будем считать нить неподвижной относительно инерциальной
системы отсчета. Тогда, учитывая, что нить прямая, бесконечно длинная и
заряжена равномерно, исходя из соображений симметрии, можно утверждать, что
вектор напряженности
созданного ею электростатического поля
направлен перпендикулярно нити, а его величина в равноудаленных от нити
точках одинакова. Следовательно, действующая на заряженную частицу со
стороны электростатического поля нити сила (электрическая составляющая силы
Лоренца:
может быть направлена только
вдоль радиуса окружности, по которой движется эта частица. По условию задачи
действием сил тяжести и сил сопротивления на частицу следует пренебречь.
Поэтому в отсутствие магнитного поля на частицу действует лишь электрическая
составляющая силы Лоренца, линия действия которой, как было показано выше,
перпендикулярна скорости частицы. Следовательно, величина скорости частицы
должна оставаться постоянной, а ее центростремительное ускорение должна
обеспечивать эта сила. Поэтому можно утверждать, что заряды нити и частицы
должны быть разноименными, а уравнение движения частицы должно иметь вид:
, где
угловая скорость
движения частицы в отсутствие магнитного поля.
При наличии магнитного поля, линии индукции которого параллельны нити, на
частицу будет действовать и магнитная составляющая силы Лоренца:
. Линия действия этой силы совпадает
с линией действия электрической составляющей силы Лоренца. Поэтому при
наличии магнитного поля величина центростремительного ускорения частицы
будет либо больше, либо меньше, чем в отсутствие магнитного поля, т.к.
радиус окружности, по которой движется частица, остается неизменным.
Поскольку при равномерном движении по окружности произведение угловой
скорости на период
обращения равно
, уравнение движения частицы при
наличии магнитного поля можно записать в виде:
либо
причем первое из этих уравнений соответствует случаю, когда электрическая и
магнитная составляющие силы Лоренца направлены одинаково, а второе в
противоположные стороны. Определив из этих двух соотношений периоды
обращения частицы при наличии магнитного поля, можно доказать, что величина
напряженности электростатического поля нити должна быть равна
, т.к. по условию задачи
. Подставляя это значение в уравнение движения частицы в
отсутствие магнитного поля, определим искомый период ее обращения:
Ответ
.