Комплексные числа

Рассмотрим плоскость с заданной на ней декартовой системой координат. Ось абсцисс назовём вещественной осью, ось ординат — мнимой осью.

Координатная плоскость

Точку (a; b) называют комплексным числом z = a + bi. Число a вещественная часть, а число b мнимая часть комплексного числа z. Запись a + bi называют алгебраической формой комплексного числа z.

Комплексное число

Число -z симметрично числу z относительно начала координат.

Противоположные комплексные числа

Число, симметричное числу z относительно оси абсцисс, называют сопряжённым к числу z.

Сопряжённые числа

Это число a - bi обозначают так: z.

Обозначение сопряжённого числа

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа z называют расстояние от начала координат до точки (a; b).

Модуль комплексного числа

Аргумент числа — величина угла (отсчитываемого против часовой стрелки) между положительным направлением оси абсцисс и лучём, выходящим из начала координат и проходящим через точку (a; b). Аргумент определён с точностью до 360 градусов. Аргумент нуля (начала координат) не существует.

Аргумент комплексного числа

Модули сопряжённых чисел равны, а аргументы противоположны.

Модули и аргументы сопряжённых чисел

Как складывать и умножать комплексные числа z = a + bi и w = c + di?

Сумма комплексных чисел

Сумма комплексных чисел — это сумма векторов.

Сумма векторов

В алгебраической форме: z + w = (a + c) + (b + d)i.

Алгебраическая форма суммы комплексных чисел

Тригонометрическая форма комплексного числа — это его выражение z = r(cos φ + isin φ) через абсолютную величину r и аргумент φ комплексного числа z.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Научимся умножать комплексные числа, заданные в тригонометрической форме.

Два числа в тригонометрической форме

Для этого проведём луч из начала координат и через точку z.

Проводим луч через множитель

Отметим угол между положительным направлением оси абсцисс и проведённым лучом.

Отмечаем угол

Увеличим этот угол на угол arg w.

Увеличиваем угол

Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент — сумме аргументов.

Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов

Рассмотрим три комплексных числа.

Три комплексных числа

Построим угол z1z0z2.

Угол

Выполним параллельный перенос на вектор -z0, переводящий вершину угла в начало координат.

Параллельный перенос

Величина угла равна разности аргументов чисел z2z0 и z1z0. Поэтому она равна аргументу частного (z2z0)/(z1z0).

Аргумент частного

Построим описанную окружность треугольника с вершинами z0, z1 и -z2.

Описанная окружность

На этой окружности отметим произвольную точку z3.

Четыре точки на окружности

В силу теоремы о вписанном угле величины углов, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, равны: arg ((z1z2)/(z0z2)) = arg ((z1z3)/(z0z3)). Это равенство выполнено тогда и только тогда, когда четыре точки лежат на одной окружности, причём z2 и z3 лежат по одну сторону от прямой, проходящей через точки z0 и z1.

Вписанные углы, опирающиеся на общую дугу окружности, равны

В ситуации, тогда точки z2 и z3 лежат на разных дугах, на которые окружность разделена точками z0 и z1, равенство arg ((z1z2)/(z0z2)) = arg ((z1z3)/(z0z3)) не выполнено: аргументы чисел (z1z2)/(z0z2) и (z1z3)/(z0z3) не равны, а отличаются на 180 градусов. Таким образом, четыре разных комплексных числа лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда двойное отношение — частное от деления числа (z1z2)/(z0z2) на число (z1z3)/(z0z3) — является вещественным числом.

Вписанный выпуклый четырёхугольник