---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

  Первый случай. Из условия следует, что

-- целое число. Значит, дробь сократима. Поскольку оба сомножителя в числителе больше знаменателя, то после сокращения от каждого из них останется число, большее единицы. Итак, число a + b + c + d является произведением двух сомножителей, больших единицы, и значит, не является простым.

Комментарий. Мы воспользовались нетривиальным утверждением: если дробь представляет собой целое число, то можно представить z в виде произведения ts так, чтобы x делилось на t, а y делилось на s. Если Вы разберетесь во втором способе решения, то Вам станет понятно, как это утверждение доказать строго.

Второй случай. Докажем следующее утверждение: если ab = cd, то найдутся натуральные u, v, w, z такие, что a = uv, b = wz, c = uw, d = vz. Действительно, разложим числа a, b и c на простые множители. Так как число c является делителем произведения ab, все его простые множители присутствуют среди множителей a и b (причем, если простой множитель входит в c несколько раз, то он входит в a и b в сумме по крайней мере столько же раз). Пусть p₁, ..., p_n — все простые делители чисел a и b. Тогда

где некоторые из чисел k_i, l_i, m_i могут быть равны нулю. Как объяснялось выше, m_ik_i + l_i при i = 1,..., n. Значит, можно представить m_i в виде t_i + s_i, где t_ik_i, s_il_i. Положим

Тогда c = uw. Кроме того, u — делитель числа a, а w — делитель числа b. Поэтому можно записать a = uv, b = wz с целыми v и z. Тогда

Утверждение доказано.

Итак,

Оба множителя больше единицы, значит, число a + b + c + d — составное.