Скрыть решение
Решение
Первый случай.
Из условия следует, что
a +
b +
c +
d =
a +
b +
c +

=
-- целое число. Значит, дробь сократима. Поскольку оба сомножителя в
числителе больше знаменателя, то после сокращения от каждого из них останется
число, большее единицы. Итак, число
a +
b +
c +
d является произведением двух
сомножителей, больших единицы, и значит, не является простым.
Комментарий.
Мы воспользовались нетривиальным утверждением: если дробь
представляет
собой целое число, то можно представить z в виде произведения ts так, чтобы
x делилось на t, а y делилось на s. Если Вы разберетесь во втором способе
решения, то Вам станет понятно, как это утверждение доказать строго.
Второй случай.
Докажем следующее утверждение: если ab = cd, то найдутся натуральные
u, v, w, z такие, что a = uv, b = wz, c = uw, d = vz. Действительно,
разложим числа a, b и c на простые множители. Так как число c
является делителем произведения ab, все его простые множители присутствуют
среди множителей a и b (причем, если простой множитель входит в c
несколько раз, то он входит в a и b в сумме по крайней мере столько же
раз). Пусть p1, ..., pn — все простые делители чисел a и b. Тогда
a = p1k1p2k2...pnkn,
b = p1l1p2l2...pnln,
c = p1m1p2m2...pnmn,
где некоторые из чисел
ki,
li,
mi могут быть равны нулю. Как объяснялось
выше,
mi
ki +
li при
i = 1,...,
n. Значит, можно представить
mi в
виде
ti +
si, где
ti
ki,
si
li. Положим
u = p1t1p2t2...pntn,
w = p1s1p2s2...pnsn.
Тогда
c =
uw. Кроме того,
u —
делитель числа
a, а
w — делитель числа
b. Поэтому можно записать
a =
uv,
b =
wz с целыми
v и
z. Тогда
d =

=

=
vz.
Утверждение доказано.
Итак,
a + b + c + d = uv + wz + uw + vz = (u + z)(v + w).
Оба множителя больше единицы, значит, число
a +
b +
c +
d — составное.