Задача по физике N1616

Тонкий диэлектрический стержень, равномерно заряженный с линейной плотностью

, согнут в виде полукольца радиусом

. Найти минимальную работу, которую нужно совершить, чтобы перенести точечный заряд

массой

из центра

кривизны этого полукольца на расстояние

в точку

, лежащую на перпендикуляре к плоскости полукольца, проходящем через точку

Скрыть решение

Решение

Решение проще всего получить, исходя из энергетических соображений. При этом будем считать, что диэлектрический стержень остается неподвижным относительно лабораторной системы отсчета и эта система является инерциальной. Поскольку в условии задачи не указано, каким образом ориентирован отрезок относительно Земли, будем, как это обычно и делают, рассматривать простейший случай, т.е. будем считать, что потенциальная энергия точечного заряда, обусловленная действием на него сил тяжести, при его перемещении остается неизменной. Не будем учитывать и перераспределение поляризационных зарядов на стержне, которое имело бы место при перемещении точечного заряда, если бы в условии задачи не было оговорено, что стержень является тонким. При сделанных предположениях разность потенциалов точек и будет определяться положением этих точек и зарядом стержня. Учитывая, что расстояния от любой точки стержня до точки равны , а до точки они равны , на основании принципа суперпозиции для потенциала электростатического поля, созданного системой точечных зарядов, можно утверждать, что разность потенциалов точек и равна

$\begin{displaymath} \Delta \varphi (O, B) = \mathchoice{\displaystyle\frac{\tau... ... + n^2} }}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt {1 + n^2} }}} \right), \end{displaymath}$

где — электрическая постоянная. При этом было учтено, что полный заряд полукольца равен .

Как известно, кулоновское стационарное поле является консервативным. Следовательно, работа сил такого поля над перемещаемым в нем точечным зарядом не зависит от вида траектории движения заряда, а определяется лишь положением начальной и конечной точек и равна . На основании закона изменения энергии можно утверждать, что работа внешней силы будет минимальной, если эта сила в каждой точке траектории будет практически компенсировать действие сил кулоновского поля, т.к. при этом заряд будет перемещаться бесконечно медленно, а потому его кинетическая энергия в начальной и конечной точках будет одинаковой, и не будет потерь энергии, обусловленных электромагнитным излучением, интенсивность которого зависит от квадрата ускорения заряда. Из сказанного следует, что минимальная работа, которую необходимо совершить для заданного перемещения заряда, равна

$\begin{displaymath} A = - A_{\rm {K}} (O, B) = \mathchoice{\displaystyle\frac{q... ...^2} }}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt {1 + n^2} }} - 1} \right). \end{displaymath}$

Из этого выражения следует, что работа внешней силы будет отрицательной, если заряды стержня и точечного заряда одноименные, т.к. действующие в этом случае на точечный заряд кулоновские силы будут силами отталкивания, и положительной, если указанные заряды разноименные.

Ответ