Скрыть решение
Решение
Решение проще всего получить,
исходя из энергетических соображений. При этом будем считать, что
диэлектрический стержень остается неподвижным относительно лабораторной
системы отсчета и эта система является инерциальной. Поскольку в условии
задачи не указано, каким образом ориентирован отрезок
относительно Земли,
будем, как это обычно и делают, рассматривать простейший случай, т.е. будем
считать, что потенциальная энергия точечного заряда, обусловленная действием
на него сил тяжести, при его перемещении остается неизменной. Не будем
учитывать и перераспределение поляризационных зарядов на стержне, которое
имело бы место при перемещении точечного заряда, если бы в условии задачи не
было оговорено, что стержень является тонким. При сделанных предположениях
разность потенциалов точек
и
будет определяться положением этих точек и
зарядом стержня. Учитывая, что расстояния от любой точки стержня до точки
равны
, а до точки
они равны
, на основании принципа
суперпозиции для потенциала электростатического поля, созданного системой
точечных зарядов, можно утверждать, что разность потенциалов точек
и
равна
где
электрическая постоянная. При этом было учтено, что
полный заряд полукольца равен
.
Как известно, кулоновское стационарное поле является консервативным.
Следовательно, работа сил такого поля над перемещаемым в нем точечным
зарядом
не зависит от вида траектории движения заряда, а определяется лишь
положением начальной и конечной точек и равна
. На основании закона изменения энергии можно
утверждать, что работа внешней силы будет минимальной, если эта сила в
каждой точке траектории будет практически компенсировать действие сил
кулоновского поля, т.к. при этом заряд будет перемещаться бесконечно
медленно, а потому его кинетическая энергия в начальной и конечной точках
будет одинаковой, и не будет потерь энергии, обусловленных электромагнитным
излучением, интенсивность которого зависит от квадрата ускорения заряда. Из
сказанного следует, что минимальная работа, которую необходимо совершить для
заданного перемещения заряда, равна
Из этого выражения следует, что работа внешней силы будет отрицательной,
если заряды стержня и точечного заряда одноименные, т.к. действующие в этом
случае на точечный заряд кулоновские силы будут силами отталкивания, и
положительной, если указанные заряды разноименные.
Ответ
.