---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

При решении задачи будем предполагать, что шины и источник однородного вертикального магнитного поля покоятся относительно лабораторной системы отсчета, которую можно считать инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на перемычку.

После соединения шин резистором в образовавшейся замкнутой цепи должен возникнуть электрический ток. При этом на перемычку начнет действовать направленная горизонтально сила Ампера, которая может вызвать ускоренное движение перемычки, если величина этой силы превысит предельное значение силы сухого трения покоя перемычки о шины. В случае возникновения движения в перемычке, согласно закону электромагнитной индукции, должны возникнуть сторонние электрические силы, действие которых, согласно правилу Ленца, должно препятствовать увеличению скорости движения перемычки.

По условию задачи по прошествии некоторого времени после замыкания цепи было обнаружено, что на резисторе выделяться постоянная мощность . Поскольку иное специально не оговорено в условии задачи, будем считать, что сопротивление резистора не зависит от выделяющейся на нем мощности. Тогда силу тока , текущего по резистору, следует считать постоянной, т.к. согласно закону Джоуля-Ленца .

Учитывая, что сопротивление резистора по условию задачи много больше сопротивления остальных элементов цепи и в интересующие нас моменты времени ток в цепи остается постоянным, согласно закону Ома для полной цепи должно иметь место соотношение: , где — величина ЭДС индукции, действующей в рассматриваемом контуре и обусловленной движением перемычки в магнитном поле. Знак перед величиной ЭДС в приведенном соотношении выбран в соответствии с правилом Ленца. Поскольку в интересующие нас моменты времени , и не зависят от времени, постоянной должна быть и .

В условии задачи сказано, что индуктивностью элементов цепи следует пренебречь. Это означает, что следует пренебречь магнитным полем, создаваемым токами в этой цепи. При дальнейшем решении задачи будем считать, поскольку иное специально не оговорено в условии задачи, что размер области контакта перемычки с каждой из шин значительно меньше среднего расстояния между шинами, а потому расстояние между точками перемычки, соприкасающимися с шинами, можно считать равным . Воспользовавшись выражением для магнитной составляющей силы Лоренца и рассуждая подобно тому, как это делается в большинстве школьных учебников, можно доказать, что , где — величина скорости движения перемычки, а — величина индукции внешнего магнитного поля. Из этого выражения и сказанного ранее следует, что после установления тока в цепи скорость движения перемычки при выполнении сделанных предположений должна оставаться постоянной.

Поскольку длина участка перемычки, по которому протекает ток, равна , а по условию задачи ось перемычки перпендикулярна индукции однородного магнитного поля, то величина горизонтально направленной силы Ампера, действующей на перемычку, равна . Учитывая, что шины расположены горизонтально и покоятся относительно лабораторной системы, на основании второго закона Ньютона можно утверждать, что нормальная составляющая сил реакции шин на перемычку равна , где — ускорение свободного падения. Следовательно, максимальное значение силы сухого трения покоя перемычки о шины согласно закону Кулона-Амонтона должно быть равно . Считая, как обычно, что величина силы сухого трения скольжения равна максимальному значению силы сухого трения покоя, и пренебрегая, как было сказано выше, влиянием воздуха на перемычку, условие ее равномерного движения можно записать в виде: . Отсюда величина скорости движения перемычки:

Это выражение будет справедливо при , т.к. величина скорости не может быть отрицательной. Следовательно, величина искомой установившейся скорости перемычки при выполнении сделанных в ходе решения задачи предположений должна быть равна

причем при в случае, изображенном на рисунке в условии задачи, скорость перемычки должна быть направлена от резистора , параллельно шинам, т.к. ее направление должно совпадать с направлением силы Ампера.  

Ответ

при ; при .