Перемещение при равнопеременном движении

Два вида механического движения – равномерное и равнопеременное аналитически отображаются с помощью уравнения зависимости координаты от времени x = x0 + υx ∙ Δt и скорости от времени υx = υ0x + ax ∙ Δt.

Но эти же виды движения можно отобразить и графически

Рис. 1
Рис. 2

На приведенных графиках зависимости координаты тела x от времени движения tx = x (t) и скорости тела υx от времени движения t – υx = υx (t) отображено равномерное движение, скорость которого υx = 2 м/с.

Если движение будет происходить с другой скоростью, то на первом графике изменится угол наклона прямой по отношению к осям координат.

Тангенс угла наклона построенной линии равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Но противолежащий катет есть ни что иное, как разность координат или проекция перемещения на координатную ось, а прилежащий катет – время движения.

Следовательно, можно сказать, что численно тангенс угла наклона прямой в осях x и t равен скорости равномерного движения тела.

Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5

Можно заметить, что если на графике зависимости υx = υx (t) из точки, соответствующей некоторому времени движения тела, восстановить на построенную линию перпендикуляр, получится прямоугольник, площадь которого определяется произведением основания на высоту. Но основание есть ни что иное, как время движения Δt, а высота – скорость υ, с которой движется тело.

Площадь этого прямоугольника численно равна перемещению, которое совершает тело за заданное время Δt.

Отобразим на графике зависимости υx = υx (t) движение тела, протекающее с постоянным по величине ускорением ax.

Пусть ax = 2 м/с2 и в начальный момент времени тело имеет скорость υ0x = 1 м/с.

За первую секунду скорость тела, согласно уравнению υx = 1 + 2 ∙ tx = υ0x + ax ∙ Δt) возросла на 2 м/с и стала, соответственно, 3 м/с. Через 2 с скорость стала равна 5 м/с, через 3 с – 7 м/с и т. д.

Если соединить соответствующие точки, то получится прямая линия, которая наклонена к осям υ и t и ограничена рассматриваемым участком.

Рис. 6

Вспомним, что для равномерного движения в соответствующих осях (υx, t) площадь прямоугольника численно равна перемещению, совершаемому телом за время Δt. В данном случае мы имеем не прямоугольник, а трапецию.

Разобьем трапецию на несколько полосок. Образовавшиеся маленькие трапеции можно в свою очередь разбить на прямоугольники и треугольники. В данном случае площади прямоугольников и треугольников сопоставимы друг с другом. Но если уменьшить ширину полосок, то уменьшится соответственно и площадь, приходящаяся на треугольники. Если полосы будут достаточно узки, то относительная площадь треугольников будет настолько маленькой по сравнению с соответствующей им площадью прямоугольников, что ею можно пренебречь.

Можно считать, что трапеция состоит из бесконечно большого количества прямоугольников, площадь каждого из которых равна перемещению тела за очень малые интервалы времени Δt. Общее перемещение равно сумме перемещений, совершенных телом за весь промежуток времени.

Таким образом, перемещение, совершенное телом за заданное время при равнопеременном движении, численно равно площади трапеции, ограниченной графиком скорости и вертикалью, опущенной на ось t.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Одно из оснований трапеции численно равно начальной скорости второе – конечной скорости Высота трапеции численно равна времени движения тела. Таким образом: Это уравнение можно преобразовать.

Если записать уравнение зависимости скорости тела от времени движения при равноускоренном движении υx = υ0x + ax ∙ Δt, то после совместного решения двух уравнений можно получить либо уравнение, отражающее зависимость между перемещением и временем движения тела, для случая, когда конечная скорость движения неизвестна, либо зависимость между перемещением, начальной и конечной скоростью движения тела, если не известно время движения:
 

Поскольку основная задача механики сводится к нахождению уравнения, отражающего зависимость координат тела от времени, то с учетом того, что полученные уравнения можно переписать в виде:  

В векторном виде первое уравнение будет иметь вид:

Знание полученных зависимостей позволяет проводить анализ движения различных тел и, в частности, отвечать на вопрос: является ли движение тела равнопеременным?

Рассмотрим в качестве примера движение тележки, скатывающейся с наклонной плоскости.

Предположим, что это движение равноускоренное. Для непосредственной проверки этого предположения нужен специальный прибор – акселерометр. При его отсутствии проверка будет носить опосредованный характер и может выглядеть следующим образом.

Если посылка верна, то для движущейся тележки зависимость между перемещением и временем должна иметь вид:

В частности, если то

При  

При    

При    

При    

Если тележка движется с постоянным ускорением, то перемещения, совершаемые ей за последовательные равные промежутки времени, будут относиться как ряд нечетных чисел.

Экспериментальная проверка этого вывода позволяет установить, что это действительно так. Следовательно, движение тележки является равноускоренным.

s