Задача по физике N1592

Сопротивление

нелинейного резистора зависит от приложенного к нему напряжения

по закону:

, где

— постоянный коэффициент. Если три таких резистора соединить последовательно и подключить к батарее, то в цепи будет течь ток

. Если же эти резисторы соединить параллельно и подключить к той же батарее, то через нее будет течь ток

. Найти ЭДС батареи.

Скрыть решение

Решение

Если ЭДС батареи обозначить , ее внутреннее сопротивление , а сопротивление каждого из резисторов при их последовательном соединении , то согласно закону Ома для полной цепи, пренебрегая, как обычно, сопротивлением соединительных проводов, можно утверждать, что

$\begin{displaymath} \ensuremath{\mathscr{E}}= 3 R_1 I_1 + r I_1 . \quad (1) \end{displaymath}$

При этом падение напряжения на каждом из последовательно соединенных резисторов будет равно . Поскольку по условию задачи , то в рассматриваемом случае сопротивление резистора должно быть равно , а соотношение (1) можно представить в виде

$\begin{displaymath} \ensuremath{\mathscr{E}}- r I_1 = 3 \alpha ^2I_1^2 . \quad (2) \end{displaymath}$

При параллельном соединении резисторов сила текущего через батарею тока по условию задачи становится равной , а через каждый из резисторов будет протекать ток . Следовательно, сопротивление каждого из резисторов в этом случае должно удовлетворять соотношениям:

$\begin{displaymath} \ensuremath{\mathscr{E}}- r I_2 = R_2 \mathchoice{\displays... ...\alpha ^2}}{\displaystyle\frac{R_2^2 }{\alpha ^2}}, \quad (3) \end{displaymath}$

т.е. должно быть равно , а потому

$\begin{displaymath} \ensuremath{\mathscr{E}}- r I_2 = \mathchoice{\displaystyle... ..._2^2 }{9}}{\displaystyle\frac{\alpha ^2I_2^2 }{9}}. \quad (4) \end{displaymath}$

Решая совместно уравнения (2) и (4), получим

$\begin{displaymath} r = \mathchoice{\displaystyle\frac{(27I_1^2 - I_2^2 ) \alph... ...yle\frac{(27I_1 - I_2 ) \alpha ^2 I_1 I_2 }{9 (I_2 - I_1 )}}. \end{displaymath}$

Следует отметить, что найденное решение будет справедливо, если заданные в условие задачи силы токов и удовлетворяют неравенству

$\begin{displaymath} 1 < {I_2 } / {I_1 } < \sqrt {27} , \end{displaymath}$

т.к. внутреннее сопротивление батареи не может быть отрицательным, а при уменьшении сопротивления нагрузки ток через питающую ее батарею должен увеличиваться.

Ответ

; решение существует при .