Центр тяжести в геометрических задачах

Центром тяжести (или центром масс) некоторого тела называется точка, обладающая тем свойством, что если подвесить тело за эту точку, то оно будут сохранять свое положение.

Рис. 1. Центр тяжести фигуры

Понятие центра тяжести возникло уже в древности; большой вклад в разработку теории центров тяжести внес Архимед. Несмотря на то, что понятие центра тяжести сейчас в большей мере изучается на уроках физики, нежели математики, оно играет большую роль и в геометрии. В частности, уже Архимеду понятие центра тяжести облегчило нахождение площадей некоторых фигур (например, сегмента параболы), а также объемов различных пространственных тел (в частности, шара).

В трактате «О равновесии плоских тел, или о центрах тяжести плоских фигур» Архимед излагает теорию центров тяжести аксиоматически, подобно тому, как излагает геометрию Евклид в книге «Начала». Вначале дается некоторое количество «допущений», то есть аксиом.

1. Равные тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

 

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

 

3. Точно так же, если от данной тяжести будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

 

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся и их центры тяжести.

 

В античности «равные фигуры» значило «равновеликие», а термина для равных фигур в современном смысле (еще говорят: «конгруэнтных»), то есть отличающихся местоположением и совпадающих при наложении, не существовало. Поэтому Архимед вместо «равные» говорит «равные и подобные», то есть имеющие не только одинаковую форму, но и одинаковые размеры.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.

 

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же длинах будут уравновешиваться и равные им.

Здесь под «равными» опять-таки подразумеваются равновеликие, в данном случае – имеющие одинаковый вес. Смысл предложения в том, что если некие фигуры, будучи подвешенными, находятся в равновесии, то равновесие не нарушится при замене любой из них на равную по весу фигуру.

Рис. 2. Две фигуры, равные по весу третьей, равны

На основании этих предположений Архимед доказывает ряд следствий.

  • Тяжести, уравновешивающиеся на равных длинах, будут тоже равны.
  • Неравные тяжести уравновешиваются на неравных длинах, причем большая тяжесть – на меньшей длине.
  • Если у двух равных (по весу) тел центры тяжести не совпадают, то центр тяжести тела, составленного из этих двух тел, будет лежать ровно посредине отрезка, соединяющего их центры тяжести.

    Рис. 3. Центр тяжести тела, соствленного из двух равных
  • Если имеется несколько тел, центры тяжести которых лежат на одном отрезке, причем их центры тяжести симметрично расположены относительно центра отрезка, и тела, центры тяжести которых находятся на равных расстояниях от центра отрезка, имеют равные веса, то центр тяжести всей совокупности тел – это середина отрезка, соединяющая центры тяжести двух крайних из них.

    Рис. 4. Центр тяжести тела, соствленного из нескольких равных

Доказательства в книге «О равновесии ...» в основном осуществляются методом «от противного». Рассмотрим, например, следствие 1. Пусть данные тяжести, уравновешивающиеся на одной и той же длине, не равны. Тогда после отнятия чего-то от большей и прибавления к меньшей равновесие должно нарушиться (согласно аксиомам 2 и 3), а это противоречит тому, что равные тела на равных длинах уравновешиваются (согласно аксиоме 1).

Далее Архимед переходит к доказательству уже не столь очевидного положения – а именно, закона рычага – тела уравновешиваются на длинах, обратно пропорциональных их весам:

l1 / l2 = P2 / P1.

Для того, чтобы это доказать, Архимед отдельно рассматривает два случая: данные веса соизмеримы либо несоизмеримы. В первом случае веса обоих тел являются кратными некоторому весу P0P1 = n1P0P2 = n2P0. Архимед заменяет тело с весом P1 на n1 тел весом P0 каждое, а тело с весом P2 на n2 тел весом P0 каждое, причем располагает все эти (n1 + n2) тел на одной прямой так, чтобы центры тяжести соседних располагались на равном расстоянии друг от друга.

Рис. 5. Доказательство закона рычага

При этом, согласно предположению 6, такого рода замена не влияет на положение центра тяжести. А поскольку по следствию 3 у этих (n1 + n2) тел центр тяжести находится посередине, то и у исходных двух тел он находится там же. Отсюда и вытекает, что l1/l2 = P2/P1.

В случае несоизмеримых весов Архимед снова ведет доказательство от противного: он предполагает, что тела с весами и подвешенные на отрезках, удовлетворяющих условию не уравновесятся. Значит, вес будет либо больше, либо меньше, чем необходимо для равновесия. Если он больше, то отнимем от некоторый вес так, чтобы оставшийся вес был, с одной стороны, все еще больше, чем нужно для равновесия, а с другой, чтобы он был соизмерим с Тогда, с одной стороны, (так как больше, чем нужно для равновесия), а с другой стороны, (потому что Получается противоречие, значит, не может быть больше, чем необходимо для равновесия. Если же меньше, чем необходимо для равновесия, значит, больше, и относительно можно провести все те же рассуждения. Итак, закон рычага доказан.

(Известно, что рычаг занимал большое место в деятельности Архимеда – не только механика-теоретика, но и конструктора реально использовавшихся механических приспособлений; часто цитируют слова Архимеда «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю»).

Рис. 6. Еще одно доказательство закона рычага, приписываемое Архимеду

На основании уже изложенного понятно, как, например, найти центр тяжести трех равных точечных грузов, расположенных в вершинах треугольника ABC. А именно, центр тяжести грузов в точках A и B (рассматриваемых как единое тело) находится посредине отрезка AB, а центр тяжести всех трех вершин должен лежать на прямой, соединяющей вершину C с серединой стороны AB, то есть на медиане треугольника, проведенной из точки C, причем должен делить ее в отношении (PA + PB) : PC = 2 : 1 считая от вершины C. Поскольку те же самые рассуждения применимы и к другим двум медианам, получается, что все три медианы пересекаются в одной точке (а именно, в единственном центре тяжести) и делятся ею в отношении 2 : 1 считая от вершины. Это утверждение обычно называется «теоремой о медианах».

Рис. 7. Теорема о медианах доказывается с помощью закона рычага

С помощью понятия центра тяжести попробуйте доказать следующие теоремы для произвольного тетраэдра DABC (то есть треугольной пирамиды, составленной из 4 треугольников).

  • Четыре отрезка, соединяющие каждую вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершин.

    Рис. 8. Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке
    Решение

  • Три отрезка, каждый из которых соединяет середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

    Рис. 9. Медианы тетраэдра делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1
    Решение

Архимед в своем произведении ищет центры тяжести некоторых плоских фигур (предполагается, что они однородны по толщине и плотности). Довольно легко понять на основании симметрии, что центр тяжести параллелограмма находится в точке пересечения диагоналей.

Рис. 10. Центр тяжести параллелограмма

Менее очевидно, где находится центр тяжести треугольника. Оказывается, он тоже находится в точке пересечения медиан: эту точку поэтому называют центром тяжести треугольника (а не просто центром тяжести трех вершин треугольника). Достаточно доказать, что центр тяжести лежит на произвольной медиане треугольника (поскольку он, таким образом, лежит на всех трех, он совпадает с точкой их пересечения). Архимед проводит доказательство двумя способами; мы рассмотрим только один.

Архимед, опять-таки, доказывает от противного: пусть центр тяжести треугольника ABC – некоторая точка G, не лежащая на медиане AD. Соединим эту точку с точками AB и C. Проведем отрезки DE, DF и EF, где E – середина AB, а F – середина AC. Параллельно AG проведем EK и FL (K лежит на AG, L – на BG). Пусть EF пересекается с AG в точке M, а KL с DG – в точке N.

Рис. 11. Центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан

Рассмотрим треугольник BED. Поскольку он подобен треугольнику BAC, то в нем центр тяжести расположен подобным образом и, следовательно, совпадает с точкой K (по равенству углов в треугольниках BAG и BEK, они подобны). Аналогично, у треугольника DFC центр тяжести совпадает с точкой L. У фигуры, образованной из этих двух треугольников, центр тяжести лежит на середине отрезка KL (так как треугольники BED и DFC равны) и совпадает с точкой N (что также можно показать с помощью подобных треугольников). У параллелограмма LEDF центр тяжести – точка M. Значит, у всего треугольника ABC, состоящего из этого параллелограмма и треугольников BED и DFC центр тяжести принадлежит отрезку MN. Значит, точка G лежит на отрезке MN, что невозможно, если только G не лежит на медиане AD. Итак, центр тяжести треугольника действительно совпадает с точкой пересечения медиан.