Урок 3.12 Область определения и множество значений функций

Пример 4

Найти наибольшее значение a, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решение

Если a = 0, то любое число x ≠ 1 является решением неравенства.
Рассмотрим теперь a > 0 и оценим левую и правую часть данного неравенства. Так как при x ≠ 1 и , то из неравенства Коши следует, что:
.
С другой стороны, , поскольку всегда .
Если , то исходное неравенство не имеет решений, поэтому для выполнения условия задачи при a > 0 необходимо, чтобы .
Возникает предположение, что наибольшее значение a, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение, и есть . Проверим это подстановкой в исходное неравенство:
.
Из приведенных ранее оценок ясно, что последнее неравенство решается рассматриваемым методом с константой . Переходим к системе:
.

Ответ

 

ИИСС "Алгебраические задачи с параметрами"