Задача по физике N1572

К гальваническому элементу параллельно подключены два резистора. Сопротивление первого резистора в

раз превышает внутреннее сопротивление элемента, а сопротивление второго таково, что выделяющаяся на нем тепловая мощность максимальна. Во сколько раз

изменится скорость растворения цинкового электрода элемента, если от него отключить второй резистор?

Скрыть решение

Решение

Как известно, гальванический элемент состоит из двух изготовленных из разных материалов электродов, погруженных в электролит. Наиболее часто один из электродов изготавливают из цинка. ЭДС гальванического элемента определяется разностью электрохимических потенциалов его электродов, а при подключении к элементу нагрузки ток через электролит обусловлен упорядоченным движением только ионов. Поэтому, предполагая, что электроды элемента являются однородными (а потому остаются неизменными, если к элементу не подключена нагрузка), на основании закона Фарадея для электролиза можно утверждать, что скорость растворения отрицательного цинкового электрода при подключении к элементу нагрузки должна быть прямо пропорциональна силе текущего через элемент тока. Следовательно, для ответа на поставленный в задаче вопрос необходимо найти сопротивление второго резистора, а затем отношение сил токов при указанных в задаче способах подключения резисторов.

Если ЭДС элемента обозначить , а его внутреннее сопротивление , то сопротивление первого резистора, по условию задачи, будет равно . Обозначим сопротивление второго резистора . При параллельном соединении резисторов напряжение на каждом из них и на клеммах элемента должно быть одно и то же, если, как обычно, пренебречь сопротивлением соединительных проводов, причем , где и — токи, текущие через первый и второй резисторы. С другой стороны, согласно закону Ома , а потому, согласно закону Джоуля-Ленца, на втором резисторе должна выделяться мощность

$\begin{displaymath} N_2 = I_2^2 R_2 = \mathchoice{\displaystyle\frac{k^2 \ensur... ...qrt {R_2 } + {k r} / {\sqrt {R_2 } }} \right)^2}}. \quad (1) \end{displaymath}$

Поскольку эта мощность должна быть максимальной, можно определить сопротивление , приравнивая нулю первую производную от по , а затем убедиться, что полученному таким образом значению действительно соответствует максимум . Тот же результат можно получить и другим путем. В самом деле: соотношение (1) можно рассматривать как квадратное уравнение, решив которое, можно найти сопротивление как функцию выделяющейся на этом резисторе мощности и других параметров схемы. Дискриминант этого уравнения

$\begin{displaymath} D=\mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}^4... ...ensuremath{\mathscr{E}}^2k^3}{\left( {1 + k} \right)^3N_2 }} \end{displaymath}$

с ростом уменьшается. Ясно, что он не может быть отрицательным, а потому максимальное значение этой мощности равно:

$\begin{displaymath} N_{2 \max} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\ma... ...ac{\ensuremath{\mathscr{E}}^2k}{4 r \left( {1 + k} \right)}}. \end{displaymath}$

Подставляя это значение в формулу (1), получаем .

Отметим, что этот результат можно получить, заменив данный элемент с подключенным к нему параллельно первым резистором источником, ЭДС которого равно ЭДС элемента, а внутреннее сопротивление равно сопротивлению параллельно соединенных резисторов и , и вспомнив, что источник отдает во внешнюю цепь максимальную мощность в режиме согласования, т.е. когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.

Используя найденное сопротивление второго резистора, по закону Ома находим, что до отключения этого резистора через гальванический элемент протекал ток

$\begin{displaymath} I_0 = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\mathscr{E... ...scr{E}}\left( {k + 2} \right)}{2 r \left( {k + 1} \right)}}, \end{displaymath}$

а после отключения резистора через элемент будет течь ток

$\begin{displaymath} I_{\rm {к}} = \mathchoice{\displaystyle\frac{\ensuremath{\m... ...le\frac{\ensuremath{\mathscr{E}}}{\left( {1 + k} \right) r}}. \end{displaymath}$

Следовательно, скорость растворения цинкового электрода после отключения второго резистора изменится в раз.

Ответ