Теоремы косинусов в плоской и сферической тригонометрии

Как уже говорилось, тригонометрии как таковой (и вообще каких-либо измерений) в «Началах» Евклида нет. Тем не менее, в них сформулировано утверждение, необходимое для решения плоских треугольников – а именно, теорема косинусов, позволяющая по двум сторонам и углу между ними найти третью сторону. Как известно, в современных обозначениях, теорема косинусов записывается так:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos A.

Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора на непрямоугольные треугольники. У Евклида теорема косинусов распадается на два утверждения – о тупоугольном и остроугольном треугольнике. Первая сформулирована так:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше суммы квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключенный между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле:
BC2 = AB2 + AC2 + 2AC ∙ AD.


Рис. 1. Теорема косинусов для тупоугольного треугольника, Евклид


Поскольку

AD =  AB cos BAD, а

cos BAD = –cos BAС,

данное утверждение действительно эквивалентно теореме косинусов для тупого угла.

Доказательство в современных обозначениях сводится к цепочке равенств:

BC2 = BD2 + CD2 = BD2 + (AC + AD)2 = BD2 + AC2 + AD2 + 2AC ∙ AD = (BD2 + AD2) + AC2 + 2AC ∙ AD = AB2 + AC2 + 2AC ∙ AD.

Здесь дважды применена теорема Пифагора – в первом и в последнем равенствах.

Теорема косинусов для остроугольного треугольника звучит у Евклида так:

В остроугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей острый угол, меньше суммы квадратов на заключающих острый угол сторонах на дважды взятый прямоугольник, заключенный между одной из сторон при остром угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром внутрь отрезком при остром угле:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AC ∙ AD.


Рис. 2. Теорема косинусов для остроугольного треугольника, высота лежит внутри треугольника, Евклид


Опять-таки, поскольку AD равно AB cos BAC, данное утверждение эквивалентно теореме косинусов для острого угла:

Следует отметить, что эта теорема верна не только для остроугольных треугольников, но и для любых треугольников – а именно, для квадрата той ее стороны, которая лежит против острого угла. В том числе она остается верной для случая, когда основание перпендикуляра BD лежит вне стороны AC.

Рис. 3. Теорема косинусов для остроугольного треугольника, высота не лежит в треугольнике, Евклид


Нужно ли что-либо изменить в доказательстве для этого случая?

Ответ

Современные школьники изучают лишь плоскую тригонометрию, в то время как математиков древности, средневековья и нового времени больше всего интересовала сферическая тригонометрия, рассматривающая треугольники на сфере и позволяющая находить одни элементы этих треугольников по другим их элементам. Под сферическим треугольником подразумевается треугольник на поверхности сферы, составленный из дуг больших кругов – т. е. таких окружностей, центром которых является центр сферы.

Рис. 4. Сферический треугольник


Такое обобщение понятия треугольника естественно: подобно тому, что на плоскости линия кратчайшей длины между двумя точками – это прямая, на сфере линией кратчайшей длины является большой круг. Длина дуги AB пропорциональна центральному углу AOB, опирающемуся на нее; если мы пользуемся радианной мерой углов, то длина дуги просто равна произведению радиуса сферы на величину угла AOB. Для простоты будем рассматривать сферу, радиус которой равен 1. Стороны треугольников на такой сфере просто будут равны соответствующим центральным углам, а значит, можно будет измерять синусы и косинусы сторон, а не только углов, треугольников.

Углы сферического треугольника – это углы между касательными к его сторонам, проведенными в его вершинах. Как и углы обычного треугольника, они меняются от 0 до 180°. В отличие от плоского треугольника, у сферического сумма углов не равна 180°, а больше: в этом нетрудно убедиться, рассмотрев, например, треугольник, образованный дугами двух меридианов и экватора на глобусе: хотя меридианы сходятся в полюсе, оба они перпендикулярны экватору, а значит, у этого треугольника два прямых угла!

Рис. 5. У сферического треугольника может быть два прямых угла


Уже у индийца Варахамихиры (V–VI вв.), у арабских математиков и астрономов начиная с IX в. (Сабит ибн Корра, ал-Баттани), а у западных математиков начиная с Региомонтана (XV в.) встречается в различных формулировках замечательная теорема о сферических треугольниках. Вот как она может быть сформулирована в современных обозначениях:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.



Рис. 6. Теорема о сферических треугольниках


Казалось бы, эта формула внешне нисколько не походит на привычную нам теорему косинусов для плоского случая, но она тоже позволяет по двум сторонам и углу между ними находить третью сторону и в этом смысле аналогична теореме косинусов.

Сферическая теорема косинусов очень важна и для астрономии, и для географии. Эта теорема позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними. В самом деле, рассмотрим сферический треугольник ABN, где N – северный полюс (предположим для простоты, что обе точки находятся в северном полушарии).

Рис. 7. Нахождение расстояния между двумя точками на сфере


Тогда, если широта и долгота точки A равны φA и λA, а точки B – φB и λB, то угловые величины сторон треугольника таковы:

AN = π/2 – φA, BN = π/2 – φB,

угол при вершине N равен (λA – λB),

и, по сферической теореме косинусов,

cos AB = cos (π/2 – φA) cos (π/2 – φB) + sin (π/2 – φA) sin (π/2 – φB) cos (λA – λB) = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos (λA – λB).

Попробуйте, пользуясь этой формулой, узнать расстояние от Москвы (56° с. ш., 38° в. д.) до Санкт-Петербурга (60° с. ш., 30° в. д.).

Кроме того, математикам стран ислама сферическая теорема косинусов помогала в решении другой практической задачи: в городе с данными координатами находить направление на священный город Мекку (всякий правоверный мусульманин должен пять раз день молится в направлении Мекки). При решении этой задачи, считая город B Меккой, требовалось найти угол A того же треугольника.

Рис. 8. Страница из «Собрания правил науки астрономии», XI в., автор неизвестен


В астрономии сферическая теорема косинусов позволяет переходить из одной системы координат на небесной сфере в другую. Чаще всего используются три такие системы: у одной экватором служит небесный экватор, а полюсами – полюсы мира, вокруг которых происходит видимое суточное вращение светил; у другой экватором является эклиптика – круг, по которому в течение года совершается видимое движение Солнца на фоне звезд; у третьей роль экватора выполняет горизонт, а роль полюсов – зенит и надир. В частности, благодаря сферической теореме косинусов можно вычислять высоту Солнца над горизонтом в разные моменты времени и в разные дни в году.

Арабские математики сформулировали и теоремы синусов – плоскую и сферическую. Эта последняя выглядит очень похоже на плоскую:

sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C.