Методические материалы к ИИСС
«Методы решения алгебраических задач
с параметрами»

Содержание

Описание ИИСС «Методы решения алгебраических задач с параметрами»

Основные данные

  • Название ИИСС: «Методы решения алгебраических задач с параметрами».
  • Авторы: Голубев В.И., Кравцев С.В., Дубровский В.Н., Шавгулидзе Е.Т.
  • Образовательная область: математика; предмет: алгебра и начала анализа; тема: методы решения алгебраических задач с параметром.
  • Ступени образования, классы: 9-11 классы средней общеобразовательной школы, включая основную и профильную школу, в том числе, специализированные учебные заведения с наиболее глубоким изучением математики и слушателей подготовительных курсов ВУЗов.
  • Общее количество часов: 36 часов.

Состав ИИСС

ИИСС «Методы решения алгебраических задач с параметрами» содержит 36 уроков по трем разделам:

Раздел 1. «Элементарные функции в уравнениях с параметрами»

  • Тема 1.1 «Линейная функция в уравнениях с параметром»
  • Тема 1.2 «Квадратичная функция в уравнениях с параметром»
  • Тема 1.3 «Квадратичная функция в уравнениях с параметром»
  • Тема 1.4 «Модуль в уравнениях с параметром»
  • Тема 1.5 «Рациональные уравнения с параметром»
  • Тема 1.6 «Квадратный корень в уравнениях с параметром»
  • Тема 1.7 «Иррациональные уравнения с параметром»
  • Тема 1.8 «Показательные уравнения с параметром»
  • Тема 1.9 «Логарифмические уравнения с параметром»
  • Тема 1.10 «Тригонометрические уравнения с параметром»
  • Тема 1.11 «Тригонометрические уравнения с параметром»
  • Тема 1.12 «Обратные тригонометрические функции в уравнениях с параметром»

Раздел 2. «Решение неравенств с параметрами»

  • Тема 2.1 «Линейные и квадратные неравенства с параметром»
  • Тема 2.2 «Модуль в неравенствах с параметром»
  • Тема 2.3 «Рациональные неравенства с параметром»
  • Тема 2.4 «Иррациональные неравенства с параметром»
  • Тема 2.5 «Логарифмические и показательные неравенства с параметром»
  • Тема 2.6 «Тригонометрические неравенства с параметром»
  • Тема 2.7 «Тригонометрические неравенства с параметром»

Раздел 3. «Некоторые особые приемы решения задач с параметром»

  • Тема 3.1 «Теорема Виета в задачах с параметрами»
  • Тема 3.2 «Теорема Виета в задачах с параметрами»
  • Тема 3.3 «Теорема Виета в задачах с параметрами»
  • Тема 3.4 «Метод трех точек»
  • Тема 3.5 «Алгебраическая симметрия в решении задач с параметром»
  • Тема 3.6 «Алгебраическая симметрия в решении задач с параметром»
  • Тема 3.7 «Решение уравнений и неравенств относительно параметра»
  • Тема 3.8 «Решение уравнений и неравенств относительно параметра»
  • Тема 3.9 «Решение уравнений и неравенств относительно параметра»
  • Тема 3.10 «Решение задач с параметром с использованием графиков входящих в условие задачи функций»
  • Тема 3.11 «Решение задач с параметром с использованием графиков входящих в условие задачи функций»
  • Тема 3.12 «Использование области определения и множества значений входящих в условие функций для решения задач с параметром»
  • Тема 3.13 «Задачи со свободным параметром»
  • Тема 3.14 «Метод введения параметра в задачу, изначально параметр не содержащую»
  • Тема 3.15 «Использование свойства монотонности функции»
  • Тема 3.16 «Использование свойства монотонности функции»
  • Тема 3.17 «Метод областей»

К урокам предлагается следующие цифровые ресурсы:

  1. Теоретический слайд
  2. Динамическая модель
  3. Мультимедиа демонстрация
  4. Разборы примеров
  5. Пошаговые тренажеры
  6. Упражнения
  7. Задачи для самопроверки
  8. Контрольные задачи

Тип ИИСС

Тематическое электронное издание, относящееся к изучаемым в рамках образовательных программ темам, но существенно дополняющее существующие информационные источники. Данный ИИСС расширяет тему «Решение алгебраических задач с параметрами» школьного курса алгебры.

Степень соответствия требованиям к уровню подготовки выпускника, являющимся частью государственного стандарта общего образования

ИИСС соответствует требованиям части «C» Единого Государственного экзамена по математике по программе общеобразовательных средних школ, включая основную и профильную школу, в том числе, специализированные учебные заведения с наиболее глубоким изучением математики.

Квалификационные требования к педагогическому составу

Требования в предметной области. Учитель математики средней общеобразовательной школы – выпускник математического факультета педагогического ВУЗа России.

Требования в области владения ИКТ. Достаточно иметь простейшие навыки работы с компьютером и основными пользовательскими программами в операционной системе Microsoft Windows.

Новизна разработки

Впервые представлен систематический курс по методам решения алгебраических задач с параметрами с электронным сопровождением. Предложен компьютерный банка задач с параметрами из учебников и учебных пособий по курсам алгебры и начал анализа средней общеобразовательной школы, структурированный по типам постановки задач и темам уроков. В пособии также впервые реализованы преимущества электронных обучающих материалов перед традиционными бумажными (интерактивность, вариативность проверки и самопроверки) в приложении к изучению методов решения алгебраических задач с параметрами.

Ожидаемые результаты

В электронном пособии предложены базовые варианты проведения учителем занятий по методам решения алгебраических задач с параметрами. Заложены возможности активного использования автоматизированных рабочих мест преподавателя и учеников. Содержание мультимедийных и интерактивных ресурсов упрощает восприятие учеником излагаемого материала. Электронная версия позволяет интенсифицировать учебный процесс и обеспечить более эффективный контроль усвояемости курса. В частности, посредством диалоговых режимов, в нем предусмотрены возможности вариативности проверки и самопроверки. Отметим, что сама возможность такого рода реализуется только в электронных обучающих материалах.

В качестве оболочки для данного ИИСС используется система организации и поддержки образовательного процесса "1С:Образование 4. Школа", обеспечивающая возможность самостоятельного создания учителем новых вариантов курса по методам решения алгебраических задач с параметрами, а также использования предоставляемого материала при проведении занятий по другим разделам школьных дисциплин. Такая возможность будет поддерживаться обширным банком задач с параметрами из действующих учебников и учебных пособий по курсам алгебры и началам анализа средней образовательной школы. Благодаря преимуществам электронного документооборота, такие планы уроков легко составлять и приспосабливать к требованиям и возможностям конкретных групп учащихся.

Описание методики использования ИИСС

Формы и методы организации учебной деятельности учащихся в процессе использования ИИСС

Материал может использоваться на уроке в компьютерном классе или на обычном уроке с проецированием материалов на экран при подробном и развернутом изучении методов решения математических задач с параметром, для самостоятельной работы учащихся, а также для проверки и самопроверки усвоения.

Электронное пособие предполагает прохождения курса на классных занятиях под руководством учителя в виде уроков на объяснения материала, состоящих из интерактивных примеров и уроков на закрепление материала и контроля усвоения материала учащимися, посредством систем ввода и проверки ответов.

Требования к оснащению средствами обучения, необходимыми для использования ИИСС в учебном процессе

Минимальный набор:

  • АРМ преподавателя (компьютер, проектор, принтер)

Максимальный набор:

  • АРМ преподавателя (компьютер, проектор, принтер)
  • АРМ ученика (соответственно количеству учащихся или групп учащихся)

Оптимально:
Школьный кабинет математики для проведения уроков с применением ИИСС должен быть оснащен персональными компьютерами соответственно числу учащихся (или групп учащихся), содержащими основные пользовательские программы, устройства для просмотра CD-ROM. Также в кабинете должен быть в наличии мультимедийный проектор (1 на класс) с экраном.

Общие методические замечания

  1. Данный проект предназначен для обучения учащихся 9-11 классов методике решения алгебраических задач с параметром. Проект разбит на три части, отличающиеся уровнем требований к подготовке и полученному учащимися объему знаний по школьному курсу алгебры. ИИСС может быть использован как для проведения уроков по основному курсу алгебры, так и для организации преподавания спецкурса по методам решения задач с параметрами.

  2. Особенностями изложения материала являются

    • модульный принцип построения, когда каждый следующий модуль содержит более сложные задачи по сравнению с предыдущим;
    • объяснение нового материала в основном на разборах задач-примеров с разной степенью подробности изложения.

  3. Деление по урокам, предложенное в проекте, весьма условно. Одна тема предлагается на один урок, хотя в соответствии с уровнем учеников учитель имеет право использовать не все предложенные к уроку ресурсы. Кроме того предложенный обширный материал позволяет учителям формировать различные по типу уроки и формы работы:

    • Уроки с объяснением нового материала
    • Уроки индивидуального самообразования и групповой работы
    • Проектная деятельность учащихся
    • Презентация и практическая работа
    • Закрепляющие уроки, когда предложенный набор разобранных задач предлагается для распознавания по методам решения
    • Контрольные уроки

  4. Первая часть проекта – наиболее простая для изучения. Ее можно использовать для проведения уроков в 9–10 классах. После изучения свойств того или иного класса функций (линейная, квадратичная, дробно-рациональная, арифметический квадратный корень и т.д.) и приобретения учащимися набора основных навыков, необходимых для решения основанных на применении соответствующей функции уравнений с числовыми коэффициентами, преподаватель приступает к наработке навыков решения аналогичных задач с буквенными коэффициентами (параметрами) из соответствующего урока первой части проекта.

  5. Первые 1-4 примера преподаватель разбирает сам, подробно поясняя их решение всей аудитории. Количество разбираемых примеров зависит от уровня подготовки учащихся. Для разбора 2 задач из пошаговых тренажеров может быть вызван тот или иной способный ученик, который проделает их подробное решение с демонстрацией всех его шагов остальным учащимся под руководством педагога.

  6. При демонстрации решений важно отчетливо разделять последовательные этапы работы, пояснять причины появления различных случаев для значений коэффициентов, связывая их с необходимостью выполнимости тех или иных  алгебраических операций (невозможность деления на 0, извлечения арифметического квадратного корня из отрицательного числа, логарифмирования неположительного числа и т.п.).

  7. Важно также добиться понимания учащимися возможности вырождения уравнений при обнулении коэффициентов перед некоторыми их членами и умения правильно записывать ответ в уравнениях с параметрами, который, в отличие от ответа в уравнениях с числовыми коэффициентами, является функцией параметров.

  8. После разбора примеров решения задач и подведения первых логических итогов урока, необходимо закрепить полученные учащимися знания. Для этого в каждом уроке предлагается список упражнений и задач для самостоятельного выполнения их учащимися. Не вызывает сомнения, что при самостоятельном решении этих задач часть учащихся будет испытывать трудности, и у них возникнут вопросы. Поэтому в программе обучения необходимо запланировать дополнительное время для последующего разбора в аудитории наиболее трудных задач из набора задач, предназначенных для самостоятельного решения.

  9. В проекте предусмотрен обязательный контроль полученных в ходе изучения курса навыков, для чего после каждых 4-5 уроков необходимо проводить контрольную работу из контрольных задач, предложенных к каждой теме. Преподаватель может менять набор этих задач, сообразуясь с уровнем навыков учащихся и глубиной проникновения в преподаваемый материал.

  10. Вторая часть проекта является, в  некотором смысле, развитием и углублением первой его части. В ней рассматриваются методы решения неравенств с параметрами на примерах неравенств, использующих те же классы элементарных функций, что и для уравнений с параметрами в первой части проекта. Поэтому при изучении того или иного урока из этой части также предполагается наличие у учащихся навыков решения соответствующих классов неравенств с числовыми коэффициентами. При этом материал второй части может использоваться как для закрепления и развития соответствующей темы сразу после изучения аналогичных  неравенств с числовыми коэффициентами, так и для повторения темы на более поздних этапах обучения.

  11. Построение уроков второй темы и организация закрепления и контроля знаний организованы аналогично первой части проекта, поэтому все рекомендации п. 4-8 остаются актуальными и для этой части.

  12. Наиболее сложной для изучения учащимися является третья, заключительная часть проекта. В ней собраны алгебраические уравнения и неравенства с параметрами, в формулировке которых появляются различные дополнительные требования к количеству или строению решений, и в решении которых обычно приходится использовать специальные приемы, основанные на особенностях строения функций из условия задачи.

  13. В каждом уроке третьей части на нескольких различных примерах иллюстрируется какой-либо один метод решения алгебраических задач с параметром. Поэтому преподавателю рекомендуется пояснять в процессе разбора примеров  особенности использования рассматриваемого метода и акцентировать внимание учащихся на особенностях формулировки задачи и свойствах используемых функций, которые позволяют, априори, предположить применимость именно такого метода и дают возможность эффективно его использовать.

  14. Разбор решения сложных задач необходимо четко структурировать, разбивая решение на несколько несложных этапов, каждый из которых нетрудно выполнить. При этом внутри одного урока демонстрационные задачи обычно подобраны так, что они имеют примерно одинаковую структуру этапов решения. Что позволяет учащимся закрепить на последующих примерах полученные при разборе 1-2 первых примеров навыки.

  15. Учитывая значительно возросшую по сравнению с 1-й и 2-й частями проекта степень сложности материала, можно рекомендовать сокращать, по необходимости, объем разбираемого на уроке материала, сообразуясь с возможностями и уровнем предварительной подготовки учащихся. Преподавателю рекомендуется руководствоваться качеством усвоения приемов, тщательно разбирая, если это необходимо, меньшее их число по сравнению с запланированным.

  16. Общее строение уроков третьей части аналогично их строению в 1-й и 2-й частях, поэтому план ведения урока и организация самостоятельной работы учащихся по закреплению знаний и осуществление контроля знаний можно производить аналогично тому, как это описано в п. 4-8.

Методические комментарии к урокам

Раздел 1
«Элементарные функции в уравнениях с параметрами»

Тема 1.1 «Линейная функция в уравнениях с параметром»

При решении уравнений с параметрами нужно следить за полным перебором различных способов нахождения корней уравнения в зависимости от значений параметров. При использовании стандартных формул важно проверять выполнение всех ограничений на входящие в них параметры. Формальное их применение приводит к ошибкам.

При решении линейных уравнений с параметром следует выделить три возможных случая:

  1. основной случай, когда имеется единственное решение;
  2. особый случай, когда нет решений;
  3. особый случай, когда решениями являются все действительные числа.

В разборе решений задач из примеров 1–4 обращать внимание на реализацию этих случаев в зависимости от значений параметров. Следует внимательно следить за операцией деления на выражения, содержащие параметры. При делении часто возникают ограничения на допустимые значения параметров.

При разборе примера 1 обратить внимание, что реализуются случаи (1), (2) и не реализуется случай (3). При разборе примера 2 обратить внимание, что реализуются случаи (1), (3) и не реализуется случай (2). При разборе примеров 3, 4 обратить внимание, что реализуются все три случая.

Тема 1.2 «Квадратичная функция в уравнениях с параметром»

При решении квадратных уравнениях с параметром важно помнить, что при некоторых значениях параметров уравнения могут свестись к линейному виду. Эти случаи требуют отдельных исследований. Также следует обращать внимание на значения дискриминанта квадратного уравнения, так как в зависимости от его значений возможны различные случаи решения. При написании формул решений квадратных уравнениях следите за выполнением всех ограничений на входящие в них параметры.

В уравнениях из примеров 1–3 коэффициент при старшем члене равен единице и поведение решений определяется значениями дискриминанта. В примерах 1, 3 обратить внимание на значения дискриминанта, которые определяют все возможные случаи решений уравнений и задают ограничения на значения параметров. В примере 2 показано, что может реализоваться только один случай при всех значениях параметра. При разборе примера 4 следует обратить внимание на превращение уравнения в линейное в зависимости от значений коэффициента при старшем члене. Значения дискриминанта и коэффициента при старшем члене определяют различные случаи решения уравнения.

Тема 1.3 «Квадратичная функция в уравнениях с параметром»

Этот урок является продолжением урока 1.2, поэтому полезно ознакомиться с рекомендации к уроку 1.2.

В примерах 1 и 2 обратите внимание на значения коэффициента при старшем члене. Следует следить за превращением уравнения в линейное в зависимости от значения параметра. В примере 1 выделите случай, когда уравнение превращается в тождество. В примере 2 полезно исследовать дискриминант. Он является полным квадратом линейной функции от параметра. Обратите внимание на запись решения уравнения. В примерах 3 и 4 следует внимательно разобрать постановку задачи: по условию задачи уравнения должно иметь два решения, поэтому необходимо следить за возникающими ограничениями на параметры.

Тема 1.4 «Модуль в уравнениях с параметром»

В начале урока полезно ознакомиться со свойствами функции модуль действительного числа. Обратите внимание на область значений этой функции.

В примерах 1, 2 приведены два основных способа решения уравнения с модулем. Полезно сравнить оба способа. Обратить внимание, что в зависимости от задачи удобно применять один из этих способов. В примере 3 внимательно следите за возникающими в зависимости от значений параметра различными случаями решений уравнения. В примере 4 обратите внимание на выбор способа решения. Сравните с другим методом решения.

Тема 1.5 «Рациональные уравнения с параметром»

Обратите внимание на значения знаменателя в рациональных выражениях. В ходе решения уравнений не забывайте учитывать возникающие в связи с ними ограничения.

В примерах 1, 2 следите за ограничениями, возникающими на допустимые значения знаменателя. Обратите внимание, как они проявляются при решении линейных уравнений. В примерах 3, 4 появляются ограничения, возникающие из-за знаменателей, при преобразованиях уравнений к квадратному виду.

Тема 1.6 «Квадратный корень в уравнениях с параметром»

В начале урока полезно ознакомиться со свойствами функции квадратный корень действительного числа. Обратите внимание на область определения и область значений этой функции.

В примерах 1, 2 необходимо учитывать ограничения, возникающие из-за области определения и области значений квадратного корня. Следует отметить, что после возведения в квадрат, одно из этих ограничений можно не проверять, так как оба ограничения будут выполняться одновременно. В примерах 3 и 4 следует внимательно разобрать постановку задачи и обратить внимание на ограничения параметра в связи с условием задачи.

Тема 1.7 «Иррациональные уравнения с параметром»

В начале урока полезно повторить свойства корней высших порядков. Как и в предыдущем уроке обратите внимание на области определения и области значений этих функций.

В примерах 1-3 приведены два основных метода решения иррациональных уравнений с параметром. В примерах 1, 2 дается метод возведение в степень. В примере 3 уравнение решается с помощью замены переменной. Полезно сравнить оба метода и в зависимости от задачи применять один из этих приемов. В примере 3 обратите внимание на то, как была переформулирована задача в ходе решения.

Тема 1.8 «Показательные уравнения с параметром»

В начале урока полезно ознакомиться с графиком показательной функции. Вспомните свойства показательных функций. Обратите внимание на свойство монотонности показательных функций и на их области значений.

В примере 1 полезно отметить способ преобразования к одному основания и применение монотонности в ходе решения уравнения. В примере 2 следует выделить второй способ преобразования к одному основания и применение логарифма. На примере 3 полезно разобрать метод решения показательных уравнений с параметром с помощью замены переменной. В примере 4 обратите внимание на комбинацию методов решения из примеров 2 и 3.

Тема 1.9 «Логарифмические уравнения с параметром»

Полезно, как и в предыдущем уроке, изучить график логарифмической функции. Обратите внимание на свойство монотонности логарифмической функции и на ее область определения. Повторите все ограничения на значения основания логарифма.

В примерах 1, 3 отметьте ограничения, которые связаны с определением логарифма. Обратите внимание, что в этих задачах достаточно проверять выполнение ограничений на значения основания логарифма. В примерах 2 и 4 следите за выполнением всех ограничений, вытекающих из определения логарифма.

Тема 1.10 «Тригонометрические уравнения с параметром»

Повторить свойства тригонометрических функций синус и косинус. Обратить внимание на область значений этих функций и свойство периодичности. Разберите формулы решения простейших тригонометрических уравнений для синуса и косинуса. Повторите определения функций арксинус и арккосинус.

В примерах 1 и 3 отметьте ограничения на параметр, связанные областью значений синуса. В примерах 2 и 4 следите за ограничениями, определяемыми областью значений косинуса. В примере 2 обратите внимание на замену переменной.

Тема 1.11 «Тригонометрические уравнения с параметром»

Повторить определения и свойства тригонометрических функций тангенс и котангенс. Обратить внимание на область определения и свойство периодичности функций тангенс и котангенс. Разобрать формулы решения простейших тригонометрических уравнений для тангенса и котангенса. Повторить определения функций арктангенса и арккотангенса.

В примерах 1, 2 следите за переходом к функции тангенса и замене переменной. Разберите доказательство, что при такой замене корни уравнения не потеряны. В примере 3 обратите внимание на новую формулировку задачи в ходе решения. В примере 4 внимательно следите за ограничениями, возникающими по ходу решения уравнения.

Тема 1.12 «Обратные тригонометрические функции в уравнениях с параметром»

Вспомните определения функций арксинус, арккосинус, арктангенса и арккотангенса. Обратить внимание на свойство монотонности, области определения и области значений этих функций.

В примерах 1, 3 следите за выполнением ограничений, связанных с областями определения и областями значений функций арксинус и арккосинус. В примере 2 обратите внимание на ограничение области значений функций арктангенса и арккотангенса. В примере 2 разберите ограничения на области определения и значений функции арксинус и ограничение на область значений функции арктангенса.

Раздел 2
«Решение неравенств с параметрами»

Темы данного раздела весьма объемные, поэтому одна тема может изучаться на нескольких уроках. Кроме того работа может строиться на творческой основе, когда каждому учащемуся или группе учащихся предлагался определенный набор задач по теме.

Тема 2.1 «Линейные и квадратные неравенства с параметром»

Тема посвящен отработке базовых навыков по решению линейных и квадратных неравенств с параметром. В нем, прежде всего, нужно обратить внимание учащихся на необходимость отдельного рассмотрения различных случаев значений параметров и причин этого.

Так, в задаче 1, необходимо отдельно рассмотреть случаи отрицательного, нулевого и положительного значений параметра, поскольку в каждом из этих случаев существенно меняется ход решения. Также необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ. Важно разъяснить учащимся, что разбиение значений параметра на группы происходит в ходе решения задачи, по мере совершения упрощающих неравенство преобразований.

Тема 2.2 «Модуль в неравенствах с параметром»

В уроке рассматриваются неравенства с параметром, в условии которых используется функция модуль. Начиная разбор таких задач, необходимо напомнить учащимся определение функции модуль и коротко освежить в их памяти общую методику решения неравенств с модулем. При разборе задач необходимо обратить особое внимание на необходимость разбиения числовой оси на промежутки, на каждом из которых в дальнейшем происходит раскрытие всех знаков модуля и решение получившихся неравенств.

Не менее важно предупредить учащихся о недопустимости еще одной распространённой ошибки: многие забывают затем произвести отбор решений путем пересечения полученных ответов с той областью, на которой осуществлялось раскрытие модулей. Также необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Тема 2.3 «Рациональные неравенства с параметром»

В данном уроке рассматриваются неравенства с параметром, использующие рациональные дроби. В основе решения таких неравенств лежит метод интервалов, поэтому, начиная изучать материал урока, необходимо напомнить учащимся суть метода интервалов. При разборе задач важно акцентировать внимание на необходимости тщательного и полного перебора всех возможных различных случаев взаимного расположения нулей числителя и знаменателя рациональной дроби. Также важно требовать, чтобы учащиеся определяли знак дроби на каждом из полученных после нанесения нулей интервалов, поскольку частой ошибкой является бездумное нанесение знаков путем их механического чередования, что недопустимо. Наконец, необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Тема 2.4 «Иррациональные неравенства с параметром»

В Уроке 2.4 изучаются иррациональные неравенства с параметром. Поэтому в начале урока важно подчеркнуть на примерах опасность сравнения чисел путем бездумного возведения их в квадрат и возникающие при этом ошибки. Также важно указать учащимся, что возведение обеих частей неравенства в квадрат эквивалентно применению к ним функции y = x2, которая монотонно возрастает только для неотрицательных значений переменной. Затем стоит напомнить учащимся две основные схемы решения иррациональных неравенств, позволяющие избегать возведения в квадрат левой и правой частей неравенства в случае, когда эти части имеют различные знаки.

При разборе задач важно несколько раз подчеркнуть, что только выполнение решения по схеме позволяет избежать ошибок. Не менее важно умение правильно разбить все возможные значения параметра на группы существенно различных по способу решения случаев и отдельно разобрать каждый из таких случаев. Наконец, необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Тема 2.5 «Логарифмические и показательные неравенства с параметром»

В Уроке 2.5 рассматриваются показательные и логарифмические неравенства с параметром. Поэтому в начале урока необходимо напомнить учащимся строение области определения и множества значений показательной и логарифмической функций, а также их свойство монотонности. Также стоит напомнить общие принципы решения неравенств с монотонной функцией. При разборе задач важно указывать, какую роль в решении играет использование особенностей строения области определения и множества значений той или иной функции. Не менее важно акцентировать внимание учащихся на изменении характера монотонности показательной и логарифмической функций в зависимости от значения их основания. Также, необходимо обратить внимание на правильную запись ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Уроки 2.6 и 2.7 «Тригонометрические неравенства с параметром»

В этих уроках рассматриваются тригонометрические неравенства с параметром. Поэтому в начале урока необходимо напомнить учащимся строение множества значений основных тригонометрических функций и подчеркнуть свойство их периодичности, которое влечет свойство периодичности в строении решений неравенств. Кроме того, в некоторых задачах этих двух уроков используются обратные тригонометрические функции, поэтому перед разбором таких задач следует напомнить учащимся свойства обратных тригонометрических функций, существенные для данной задачи.

При рассмотрении неравенств уместно использовать графические иллюстрации с привлечением понятия тригонометрического круга или графиков соответствующих функций, что облегчит учащимся понимание материала. Важно следовать предложенному в части 2 порядку изучения уроков, поскольку в Уроках 2.6 и 2.7 используются методы из более ранних уроков этой части и предполагается, что учащиеся уже овладели этими методами.

В примере 2 урока 2.6. используется преобразование выражения asin x + bcos x с помощью введения вспомогательного угла. Целесообразно напомнить учащимся этот прием, поскольку он довольно труден для понимания и нередко плохо усваивается. В примере 2 урока 2.7. используется тождество arcsin x + arccos x = p/2. Если ранее это тождество учащимися не рассматривалось, то необходимо доказать его отдельно перед разбором соответствующей задачи.

Наконец, как и в предыдущих уроках, необходимо обратить внимание на правильную запись ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Раздел 3
«Некоторые особые приемы решения задач с параметром»

Уроки 3.1, 3.2, 3.3 «Теорема Виета в задачах с параметром»

Уроки 3.1, 3.2 и 3.3 посвящены разбору задач с параметром, в решении которых используется теорема Виета. Поэтому, прежде, чем начать рассмотрение задач этих уроков, учащимся полезно напомнить формулировку самой теоремы Виета. Не менее важно отметить скрытое "коварство" соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения: сами по себе эти соотношения еще не обеспечивают существования корней квадратного уравнения, поэтому их нельзя использовать, не убедившись предварительно тем или иным способом в существовании корней. Кроме того, в формулировках и в решениях некоторых задач используются различные выражения, содержащие корни x1 и x2 квадратного уравнения. Учащиеся, которые еще не приобрели достаточный опыт в использовании т. Виета для решения подобных задач, далеко не всегда представляют себе, что обычно эти выражения удается преобразовать таким образом, чтобы в их записи участвовали только алгебраические действия с суммой x1 + x2 и произведением x1x2 корней x1 и x2, после чего и применяются соотношения теоремы Виета.

Для удобства таких учащихся в начале урока полезно привести таблицу преобразований некоторых часто встречающихся выражений (слайд). Также важно акцентировать внимание учащихся на возможности управлять с помощью теоремы Виета знаками корней квадратного уравнения и другими соотношениями между корнями. Не менее существенно отмечать при рассмотрении каждой задачу общую специфику решения задач с параметрами: рассмотрение различных множеств значений параметра, диктуемое особенностями хода преобразований уравнений и неравенств в задаче, а также правильную форму записи ответа с перечислением всех возможных различных случаев значений параметра.

Тема 3.4 «Метод трех точек»

Тема 3.4. посвящен иллюстрациям применения метода «трёх точек» для решения задач с параметрами. В начале урока важно разъяснить учащимся общую суть метода. Если требуется, чтобы некоторое условие на квадратичную функцию или на модуль квадратичной функции выполнялось во всех точках заданного промежутка, то иногда бывает достаточно потребовать выполнение заданного условия только в трех «правильно» выбранных из этого промежутка точках, и тогда оно будет автоматически выполниться на всем рассматриваемом промежутке. Конечно, умение правильно выбирать три подходящие точки появляется не сразу, а после решения достаточного количества примеров. Кроме того, применение этого метода каждый раз требует отдельного обоснования достаточности проверки условия задачи только в трёх выбранных точках.

После формулировки метода можно приступить к рассмотрению примеров, в каждом из которых полезно указывать учащимся на причину, по которой три «удобные» точки были выбраны в данном примере именно так. Такой подход позволит учащимся наиболее быстро приобрести необходимые навыки для успешного самостоятельного применения этого приёма.

При решении задач методом «трёх точек» нередко появляется необходимость решить систему нескольких неравенств со знаком модуля. В таких случаях будет очень полезно перед решением конкретной системы напомнить учащимся общие принципы решения систем неравенств и правило раскрытия модуля. Кроме того, в большинстве задач приходится отдельно проверять достаточность найденных из исходных необходимых условий значений параметров. В таких случаях важно акцентировать внимание учащихся на используемом в задаче подходе раздельного использования необходимых и достаточных условий.

Уроки 3.5 и 3.6 «Алгебраическая симметрия в решении задач с параметром»

Уроки 3.5. и 3.6. предназначены для обучения методам использования алгебраической симметрии в решении задач с параметрами. Поэтому в начале урока полезно напомнить учащимся о важности свойства симметрии в природе и в геометрии. Также полезно привести в качестве примеров симметрии в алгебре несколько четных и нечетных функций, проиллюстрировав возникающую симметрию на графиках этих функций. Затем важно описать общую методику решения задач с параметрами с использованием алгебраической симметрии: иногда уравнение, неравенство, система уравнений обладает свойством алгебраической симметрии, то есть не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и.т.п. Симметрия алгебраического выражения влечет особенности в строении решений соответствующего уравнения, неравенства, системы уравнений, что нередко обыгрывается в условии задачи (накладывается, например, требование единственности решения, наличие определенного числа решений и т.п.).

Как правило, учащиеся исходно не имеют достаточного опыта в обнаружении свойства той или иной симметрии алгебраических выражений. Для удобства таких учащихся в начале урока полезно представить в целях дальнейшего использования краткую сводную таблицу некоторых часто встречающихся симметрий. В ходе разбора примеров там, где это возможно, также полезно прибегать к графической иллюстрации возникающих симметрий путем построения графиков соответствующих функций или изображения на чертежах рассматриваемых фигур. После разбора нескольких примеров важно сделать следующие обобщающие методику выводы.

В решении задач с использованием алгебраической симметрии обычно выделяются следующие два логических этапа:

  1. Учитывая условие единственности решения (определенного числа решений и т.п.) и свойство симметрии выражения, удается найти строение единственного решения (см. таблицу симметрий), подстановка которого в задачу доставляет необходимые условия на параметры, и выделяет из бесконечного множества значений этих параметров лишь несколько требующих дальнейшей проверки возможных значений (только для этих значений выполняется необходимое условие, заключающееся в определенном строении единственного решения) – остальные значения заведомо не могут быть ответами задачи.
  2. 2. На втором этапе проверяется достаточность. Обычно при этом последовательно делается подстановка параметров, отобранных в пункте 1, в исходное уравнение, неравенство, систему и проверяется выполнение условия задачи.

Замечание. Иногда, чтобы выявить симметрию выражения, требуется предварительно его преобразовать (задачи со скрытой симметрией). Важно сформировать у учащихся на этом этапе правильное понимание раздельного использования необходимых и достаточных условий.

Уроки 3.7, 3.8 и 3.9 «Решение уравнений и неравенств относительно параметра»

Уроки 3.7, 3.8 и 3.9 призваны раскрыть перед учащимися метод решения задач относительно входящих в условие задачи параметров. Такой необычный с точки зрения традиционной школьной математики подход может с самого начала вызвать у учащихся непонимание и даже отторжение, поэтому стоит предварить разбор задач вводными словами о методе и сразу же проиллюстрировать сам метод разбором несложных примеров (примеры 1 и 2 из Урока 3.7). После разбора этих примеров полезно подвести промежуточные итоги, обобщающие методику применения метода: иногда, решая уравнение с параметром, бывает удобно рассмотреть параметр как новую неизвестную величину и решить предложенное уравнение относительно параметра, избегая алгебраических сложностей, связанных с решением этого уравнения относительно исходной неизвестной.

Здесь же уместно отметить известные сложности в его применении, связанные с развитием у учащихся мешающих им стереотипов, вызванных традиционностью в обозначениях переменной величины и параметра – не всегда в условии символ х обозначает неизвестную величину, которую нужно найти, а символ a – параметр! Иллюстрацией тому служит пример 3 из Урока 3.7.

Задачи, собранные в Уроке 3.8, показывают примеры применения этого метода в более сложных ситуациях. В Уроке 3.9 разбирается дальнейшее развитие метода: в некоторых задачах удобно рассматривать неизвестную величину и параметр как две независимые неизвестные, после чего удается найти геометрическое толкование заданных в условии задачи уравнений или неравенств на координатно-параметрической плоскости (в координатах «переменная-параметр»). В ходе этого урока учащимся потребуются навыки построения геометрических мест точек координатной плоскости, заданных неравенствами на координаты этих точек.

Если учащиеся на момент разбора задач Урока 3.9 еще не вполне владеют способами построения геометрических мест точек координатной плоскости, заданных неравенствами на координаты этих точек, то полезно предварить данный урок одним или несколькими уроками, посвященными отработке соответствующих координатно-геометрических навыков.

Подытоживая разобранную методику, важно отметить основные признаки, которые нередко подсказывают необходимость её применения. Метод решения относительно параметра удобно применять, когда

  1. Выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной и одновременно является линейным или квадратным выражением относительно параметра.
  2. Если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи удобно считать параметром, а параметр – считать переменной.
  3. Если геометрическое место точек, определяемое заданным в условии неравенством удается изобразить на координатной плоскости «переменная-параметр».

Уроки 3.10 и 3.11 «Решение задач с параметром с использованием графиков входящих в условие задачи функций»

Уроки 3.10. и 3.11. посвящены обучению методам решения задач с параметром с использованием графиков входящих в условие задачи функций. Поэтому перед разбором предложенных в этих уроках задач следует напомнить учащимся, как выглядят и какими особенностями обладают графики основных изучаемых в курсе алгебры функций и геометрические места точек, координаты которых связаны несложными алгебраическими уравнениями. Для облегчения дальнейшей работы с учащимися рекомендуется использовать приведенную таблицу таких соотношений и соответствующих им геометрических образов.

Первые задачи Урока 3.10 иллюстрируют простейший вариант рассматриваемого метода – метод сечений графика семейством прямых. После разбора соответствующих задач следует ещё раз пояснить учащимся суть метода: для решения некоторых типов уравнений и неравенств с параметром удается записать условие задачи в виде уравнения f(x) = kx + b или неравенства f(x) ≤ kx + b, в которых функция f(x) в левой части не зависит от параметров, а правая часть является линейной функцией (возможен и случай k = 0). Если это удалось, то при изменении параметров k и b (или только параметра b, если k = 0) семейство прямых по-разному пересекает график функции f(x), что позволяет выделить требуемые в условии случаи строения решений уравнения или неравенства и дать ответ.

В Уроке 3.11 рассматриваются более сложные, по сравнению с прямыми, параметрические семейства линий – семейства ломаных, семейства парабол и семейства окружностей. В этом случае целесообразно в самом начале решения задачи воспользоваться геометрической иллюстрацией кривых семейства, которая позволит учащимся отчетливее осознать характер изменений в положении этих кривых с изменением значений параметра. Также важно продемонстрировать учащимся, что в решаемых этим методом задачах нередко бывает удобно использовать элементарные геометрические формулы и приёмы для вычисления требуемых значений параметров.

Тема 3.12 «Использование области определения и множества значений входящих в условие функций для решения задач с параметром»

В Уроке 3.12 рассматривается методы использования тех или иных особенностей в строении области определения или множества значений входящих в условие задачи функций. Поэтому целесообразно начать этот урок с краткого напоминания учащимся строения областей определения и множеств значений некоторых часто встречающихся в задачах функций. Для облегчения дальнейшей работы с учащимися рекомендуется использовать таблицу строения областей определения и множеств значений таких функций. Кроме того, важно напомнить учащимся список часто применяемых классических неравенств. В случае, если какие-либо из этих неравенств оказались неизвестны учащимся, рекомендуется доказать их или указать коротко путь такого доказательства.

После разбора двух-трех примеров следует подытожить проделанную работу, указав на общность использованной при их решении методики.

При разборе оставшихся задач урока следует вновь демонстрировать учащимся конкретные реализации общей схемы решения подобных задач.

Тема 3.13 «Задачи со свободным параметром»

В Уроке 3.13. разбираются методы решения задач со свободным параметром. Так как название урока не вполне проясняет учащимся, какой метод будет использоваться при решении задач, рекомендуется в начале урока сразу же пояснить суть этого метода: в условии некоторых нестандартных задач одному из параметров или переменной разрешается принимать всевозможные значения из некоторого множества (свободный параметр, переменная). При этом обычно требуется отыскать такие значения другого параметра, при которых выполняется определенное условие.

Иногда подобные задачи можно решить по следующей схеме:

  1. Придавая свободному параметру специальные значения, добиваются упрощения выражения, после чего находят необходимое условие на искомый параметр.
  2. Подстановкой найденных значений искомого параметра и проверкой требуемого условия изучают достаточность полученных значений.

Далее следует разобрать несколько примеров, в каждом из которых проиллюстрировать конкретную реализацию только что описанного общего метода. При этом важно разъяснить учащимся достаточно сложную логическую структуру используемых решений, в которых раздельно используются необходимость и достаточность различных условий. Не менее существенно научить учащихся правильно и рационально с точки зрения сложности получаемых дальнейших вычислений выбирать начальные значения свободных параметров. В этом им помогут вовремя даваемые комментарии к решению, в каждом из которых должны разъясняться мотивы выбора тех или иных «удобных» значений.

Тема 3.14 «Метод введения параметра в задачу, изначально параметр не содержащую»

Тема посвящен применению параметров к решению задач, изначально параметров не содержащих. В начале урока целесообразно разъяснить учащимся, что некоторые алгебраические уравнения или неравенства бывает проще решить, если предварительно заменить в них числовые коэффициенты или члены параметрами, хотя в исходной постановке задачи параметр не упоминается.

Далее целесообразно начать разбирать с учащимися задачи из урока, и для каждой из них комментировать, какие особенности её условия обеспечивают удобство применения данного метода. Важно акцентировать внимание учащихся на том, каких именно алгебраических трудностей удается избежать путем введения параметра. Следует также отметить, что после введения параметра для решения полученных после введения параметра уравнений и неравенств с параметром используются методы, рассмотренные в предыдущих уроках. Поэтому при использовании ранее отработанного приема важно еще раз напоминать учащимся его суть, что будет способствовать дополнительному закреплению полученных ранее навыков.

Уроки 3.15 и 3.16 «Использование свойства монотонности функции»

Эти уроки предназначены для обучения применению в решении задач с параметрами свойства монотонности использованных в условии функций. Поэтому в начале урока целесообразно сначала напомнить учащимся общее определение монотонности, а затем указать, какими свойствами монотонности обладают основные классы изучаемых в курсе алгебры элементарных функций. Кроме того, для лучшего понимания разбираемых в дальнейшем примеров, полезно сразу же сформулировать лежащий в их основе общий принцип решения неравенств с монотонными функциями. Затем нужно продемонстрировать этот общий принцип, разбирая предложенные в уроке 3.15 примеры. Тема 3.16 содержит примеры более сложных случаев использования свойства монотонности. Перед разбором задач 2, 3, 4 необходимо ознакомить учащихся с лежащим в основе их решения общим принципом. При решении задач с параметром бывает удобно использовать следующие утверждения, опирающиеся на монотонность входящих в условие задачи функций:

  • Утверждение 1. Пусть функция f(x) монотонно возрастает на промежутке E, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат E, тогда уравнение f(f(x)) = x равносильно на уравнению f(x) = x. То есть множества принадлежащих промежутку E решений этих уравнений совпадают.
  • Утверждение 2. Пусть функция f(x) монотонно возрастает на промежутке E, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат E, тогда система
    равносильна системе .

В примерах нужно каждый раз указывать, в каком месте и как именно этот общий прием реализуется в каждом конкретном случае.

Тема 3.17 «Метод областей»

При решении неравенств, содержащих параметрами, методом областей полезно выделять основные этапы вычислений:

  1. В предположениях, что неизвестная и параметр являются координатами, на плоскости выделяются области решения неравенства, т.е. области, координаты точек которых удовлетворяют неравенству.
  2. Поиск всех особых граничных точек. Нахождение их координат и разбиение параметрической оси на промежутки.
  3. Нахождение решения задачи графическим методом сечения областей решения прямыми с постоянным значением параметра.

При решениях полезно проверять полученные ответы для конкретных значений параметра. Рекомендуется также исследовать изменения, происходящие с сечениями в зависимости от значений параметра при непрерывном движении прямой.

Следует отметить также при разборе примеров 1, 2, 3, 4; что в соседних областях имеют противоположные знаки. Поэтому в этих задачах можно упростить нахождения знаков областей.

При разборе примеров 1, 3 обратить внимание, что границы областей не являются решениями неравенства.

При разборе примеров 2, 4 обратить внимание, что границы областей, которые определяются знаменателем дроби, не являются решениями неравенства, остальные точки границы являются решениями. Следует учитывать поведение граничных точек на последнем этапе решения задач.

В примерах 3, 4 следует отметить, что имеются ломаные граничные линии.

Руководство по работе с цифровыми ресурсами

Теоретический слайд

Описание. Слайд с краткой теоретической информацией.

Назначение. Может выступать как в качестве напоминания изученного теоретического материала, так и в качестве краткого резюме нового материала. В первом случае слайд представляется в начале занятия, во втором – в момент объяснения нового материала. При необходимости и в зависимости от уровня аудитории можно демонстрировать слайд на протяжении всего занятия.

Использование. Данный ЦР можно показывать через проектор, на экране монитора, а также его можно распечатать и раздать учащимся.
Замечание. Система поддержки проекта 1С.Образование 4. Школа не позволяет открывать презентации сразу в режиме показа слайдов, поэтому после открытия редактора MS PowerPoint, которое будет предложено системой, необходимо запустить показ слайдов из меню Вид–Показ слайдов (F5).

Динамическая модель

Описание. Динамическая параметрическая модель графиков функций.

Назначение. Модели используются учителем для объяснения материала, учеником – для практической работы и эксперимента. Позволяет экспериментально качественно исследовать графики функций и формы ответа в зависимости от параметра.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора. Перемещая движки слайдеров, можно менять значения параметров, от которых зависят функции, и наблюдать за изменениями графиков.
Замечание.По техническим причинам в ряде моделей разделителем целой и дробной части в десятичных дробях является точка.

Мультимедиа демонстрация

Описание. Озвученная анимированная демонстрация и «конспект» демонстрации (последовательность ее ключевых слайдов).

Мультимедиа демонстрация с временной шкалой


«Конспект» демонстрации с ключевыми кадрами

Назначение. Просмотр в классе под руководством учителя или индивидуальный при самоподготовке для разъяснения основных методов решения задач. «Конспектом» может воспользоваться учитель при объяснении материала или ученик при ответе.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора. Ключевые слайды конспекта могут быть распечатаны.

Разборы примеров

Описание. Гипер-текстовое пошаговое изложение решений примеров.

Назначение. Просмотр в классе под руководством учителя или индивидуальный при самоподготовке для разъяснения основных методов решения задач.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора. Изложение решения разбито на отдельные случаи, которое нужно открывать, щелкая по соответствующим ссылкам. При работе в классе можно не открывать один из случаев, а предложить ученикам разобрать его самостоятельно. Также пример можно распечатать.
Замечание. Часть гипер-текстовых материалов содержит сложные формулы, интергрированные как изображения, поэтому не рекомендуется менять размер шрифта в таких ЦР.

Пошаговые тренажеры

Описание. Пошаговые задачи-тренажеры, снабженные вопросами в форме ввода ответа, при ответе на которые открывается очередной шаг решения.

Назначение. Использование в классе под руководством учителя или индивидуальный при самоподготовке.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора. Для открытия следующего шага решения необходимо закончить предыдущий шаг решения, набрав отсутствующую формулу в окно ввода ответа и нажав на кнопку "Подтвердить ответ". Тренажер можно распечатать с любого шага решения.

Формульный ввод ответа. Окно для ввода ответа позволяет ввести сложную формулу.

Для ввода формулы необходимо:

  1. Поместите курсор в поле ввода и нажать на появившуюся кнопку

  2. В появившемся меню выбрать необходимое подменю:

  3. В подменю выбрать необходимый шаблон формулы:

  4. Заполните шаблон, перемещаясь по нему стрелками или курсором.


Замечание. По техническим причинам при Формульном вводе разделителем целой и дробной части в десятичных дробях является точка.

Ввод формул может осуществляться не только при помощи меню. Есть возможность вводить символы, которые автоматически будут заменяться на нужную функцию.

ФункцияАвтозамена
Сложение+
Вычитание
Умножение*
Деление/
Степень^
Экспонентаexp
Кореньsqrt
Квадратный кореньroot
Логарифмlog
Натуральный логарифмln
Десятичный логарифмlg
Модульabs
Тригонометрические и
обратные тригонометрические функции
sin, cos, tg, ctg
arcsin, arccos, arctg, arcctg

Упражнения

Описание. Задачи-упражнения с набором указаний и системой проверки ответа.

Назначение. Упражнения применяются для отработки и закрепления изученного материала. Предлагаются для использования в классе под руководством учителя или для самостоятельного решения учеником.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора ученика. Также пример можно распечатать. При работе с упражнением необходимо выбрать один из предложенных вариантов ответа и нажать на кнопку "Подтвердить ответ". Если необходимо, то можно воспользоваться указанием, которое появится по нажатию на кнопку "Подсказка". Указания зависят от числа попыток.

Задачи для самопроверки

Описание. Задачи для самопроверки с вариантами ответов и системой проверки, снабженные счетчиком времени и попыток.

Назначение. Задачи предлагаются для индивидуальной работы на уроке и дома.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа на экране монитора ученика. Также задачу можно распечатать. При работе с задачами необходимо выбрать один из предложенных вариантов ответа и нажать на кнопку "Подтвердить ответ". Во время решения следите за временем и числом попыток, чтобы подготовиться к контрольной работе, где время и число попыток будет ограничено.

Контрольные задачи

Описание. Задачи для контроля и самоконтроля с вводом ответа и системой проверки с ограничением числа попыток и времени ответа.

Назначение. Задачи предназначены для контроля и самоконтроля. Из предложенных задач учитель может формировать контрольную работу после нескольких уроков. Но можно проверять усвояемость материала и в конце каждого урока.

Использование. Данный ЦР предназначен для показа через проектор или на экране монитора. Также задачу можно распечатать. При работе с задачей необходимо набрать ответ в окне формульного ввода ответа (см. Формульный ввод в разделе Пошаговые тренажеры) и нажать на кнопку "Подтвердить ответ". Во время работы обратите внимание, что число попыток и время работы ограничены.

ИИСС «Методы решения алгебраических задач с параметрами»