---

Показать решение

---

Скрыть решение

Решение

Систему отсчета, относительно которой покоятся сферы, будем считать инерциальной. Тогда можно утверждать, что отсутствует упорядоченное движение находящихся на сферах зарядов, а создаваемое этими зарядами поле является электростатическим, причем внутри металла напряженность этого поля равна нулю. Поэтому, используя закон Кулона или воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, можно доказать, что внутри металла сфер не может быть некомпенсированных зарядов. Поскольку центры сфер совпадают, то напряженность поля между ними должна быть такой же, как от точечного заряда , а вне сфер — от точечного заряда , помещенного в центр сфер, т.е. напряженность электростатического поля должна удовлетворять соотношению:

а разность потенциалов между внутренней и наружной сферами равна

где — электрическая постоянная, а — вектор, определяющий положение интересующей точки по отношению к центру сфер. При написании этих выражений мы считали, что между сферами находится вакуум, т.к. иное явно не оговорено в условии задачи.

После соединения сфер проводником заряды с внутренней сферы начнут перетекать на наружную. Следовательно, по прошествии достаточно большого промежутка времени заряд внутренней сферы станет равным нулю, а потому электрическое поле между сферами исчезнет. Заряд же на наружной поверхности внешней сферы станет равным . Поэтому поле вне наружной сферы останется неизменным.

Поскольку сферы соединяют проводником с большим сопротивлением, то процесс перетекания зарядов с внутренней сферы на наружную будет протекать достаточно медленно и можно пренебречь излучением, которое должно сопровождать неравномерное движение электрических зарядов. Следовательно, можно считать, что вся энергия электростатического поля, существовавшего первоначально между сферами, преобразуется в тепловую энергию, т.е. согласно закону сохранения энергии при выполнении сделанных предположений искомое количество теплоты должно быть равно

Отметим, что к этому же результату можно придти и другими путями.

Наружная и внутренняя сферы образуют так называемый сферический конденсатор, заряд которого равен модулю заряда внутренней сферы. Поскольку ни геометрия обкладок, ни диэлектрические свойства среды вне сфер не зависят от величины зарядов на этих сферах, то по определению емкость рассматриваемого конденсатора равна отношению его заряда к разности потенциалов между обкладками, т.е. равна

Вспоминая, что энергия электростатического поля заряженного конденсатора равна , легко получить приведенный выше ответ, не прибегая к интегрированию.

Наконец, этот же ответ можно получить, вспомнив, что плотность энергии электрического поля равна . Поскольку напряженность поля внутри достаточно тонкого сферического слоя радиусом и толщиной , находящегося между металлическими сферами, можно считать постоянной по модулю и удовлетворяющей приведенному ранее соотношению, а объем этого слоя равен , то энергия электростатического поля между сферами равна

что совпадает с полученным ранее выражением.  

Ответ

.