Понятие числа. Числа и отношения

Введение – напоминание.

Сейчас школьники, изучая математику, узнают, что существуют различные классы чисел. Прежде всего, есть натуральные числа, с помощью которых осуществляется счет: 1, 2, 3... Вся совокупность натуральных чисел обозначается Натуральные числа можно складывать и умножать, опять получая натуральные числа. Их также можно вычитать друг из друга – если только уменьшаемое больше вычитаемого. Если мы хотим преодолеть указанное ограничение и уметь вычитать любые числа друг из друга, то необходимо расширить класс рассматриваемых чисел и придти к множеству целых чисел: при этом к натуральным числам добавляются, во-первых, 0, а во-вторых, отрицательные целые числа: –1, –2, –3... Множество целых чисел обозначается

Вычитание – операция, обратная сложению, а умножению обратно деление. Целые числа можно складывать, вычитать и умножать, опять получая целые числа. А вот делить – не всегда, а только в тех случаях, когда делимое кратно делителю. Чтобы можно было делить и в других случаях, класс рассматриваемых чисел надо опять расширить, добавив к целым числам дробные. Полученный класс называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой . Рациональное число – это число вида m / n, где m целое, а n натуральное (если n = 1, то число m / n будет просто целым). Рациональные числа уже можно и складывать, и вычитать, умножать, и делить, не опасаясь, что результат этих операций выйдет за пределы множества рациональных чисел (правда, есть одно неустранимое исключение – нельзя делить на 0). Рациональные числа можно также представить в виде десятичных дробей – конечных (1/4 = 0,25; 6/5 = 1,2) или бесконечных периодических (1/3 = 0,333...; 50/99 = 1,0050505...; 3/14 = 0,2142857142857142857...).

Оказывается, однако, что и рациональных чисел недостаточно. Если мы хотим извлекать корни, то нередко появляются числа (например, которые нельзя выразить в виде m / n – так называемые иррациональные. Известное число π – отношение длины окружности к ее диаметру – тоже иррациональное. Иррациональные числа также можно выразить бесконечной десятичной дробью ( = 1,41421...; π = 3,14159...), но эта дробь уже не будет периодической. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел (обозначается Длины геометрических отрезков выражаются именно действительными числами (положительными). Множество действительных чисел легко себе наглядно представить в виде «действительной прямой», на которой каждое число обозначается точкой, откладываемой от нуля на отрезок, равный модулю этого числа, при этом положительные числа откладываются в одном направлении, а отрицательные в другом. Действительные числа также можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме как на 0), а из положительных действительных чисел можно извлекать корни любой степени.

Некоторые школьники знают, что можно еще расширить область рассматриваемых чисел, включив в нее также, например, числа, возникающие при решении уравнения x2 = –1 (в действительных числах это уравнение не имеет решений). Числа вида (a + bi), где a и b действительные, а i – как раз и есть решение уравнения, приведенного выше (так называемая мнимая единица), называются комплексными числами; множество комплексных чисел обозначается . Эти числа по определенным правилам можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме как на 0), без всяких ограничений извлекать из них корни любой степени. Их можно изобразить точками уже не на прямой, а на плоскости. А вот чего им недостает по сравнению со всеми предыдущими множествами чисел – их нельзя упорядочить отношением «больше / меньше». Итак, мы имеем несколько числовых множеств, из которых каждое последующее шире, чем предыдущее:

.

Мы изложили современный и, так сказать, учебный взгляд на эти вещи. Исторически же описанные конструкции новых множеств были осуществлены не сразу, и развитие в этом плане не всегда было поступательным. Мы в нашем курсе рассмотрим, в чем состояли проблемы и как они решались на разных этапах истории математики.